Ensino Médio

Mensagem não lidapor **marmarcela** » 26 Jul 2015, 17:02 · Mensagem não lida por **marmarcela** » 26 Jul 2015, 17:02

Se z é um número complexo e [tex3]\overline{z}[/tex3] o seu conjugado, então, o número de soluções da equação [tex3]\overline{z}=z^{2}[/tex3] é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Resposta

e

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 27 Jul 2015, 11:30 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 27 Jul 2015, 11:30

$z=a+bi$

$\overline{z}=a-bi$
$z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2+2abi+b^2(-1)=(a^2-b^2)+2abi$

Dois complexos são iguais se suas partes (real e imaginária) correspondentes são iguais.

$\overline{z}=z^2\Rightarrow\begin{cases}a=a^2-b^2\Rightarrow b^2=a(a-1)\ (I)\\-b=2ab\ (II)\end{cases}$

Analisando $(I)$ :

$b=0\Rightarrow a\in\{0,1\}$
$b\neq0\Rightarrow a\in\mathbb{R}$

Analisando $(II)$ :

$b=0\Rightarrow a\in\mathbb{R}$
$b\neq0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$

Fazendo a interseção das possibilidades:

$b=0\Rightarrow\begin{cases}a=0\Rightarrow z=0+0i=0\\a=1\Rightarrow z=1+0i=1\end{cases}$
$b\neq0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\Rightarrow\underbrace{b=\pm\sqrt{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right)}}_{(I)}=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}\Rightarrow\begin{cases}z=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{4}}i\\z=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{3}{4}}i\end{cases}$

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