Ensino Superior ⇒ Divisão de Polinómios

[olgario]

Um polinómio

Código: Selecionar tudo

[tex3]p(x)[/tex3]

dividido por

Código: Selecionar tudo

[tex3]x^2+x+1[/tex3]

dá resto

Código: Selecionar tudo

[tex3]-x+1[/tex3]

, e dividido por

Código: Selecionar tudo

[tex3]x^2-x+1[/tex3]

dá resto

Código: Selecionar tudo

[tex3]3x+5[/tex3]

. Qual é o resto da divisão de

Código: Selecionar tudo

[tex3]p(x)[/tex3]

por

Código: Selecionar tudo

[tex3]x^4+x^2+1[/tex3]

?

Grato
Olgario

[fabit]

Queremos saber [tex3]r(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3]

em [tex3]p(x)=q(x)(x^4+x^2+1)+r(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=q(x)(x^4+x^2+1)+r(x)[/tex3]

. Como informações temos [tex3]p(x)=m(x)(x^2+x+1)+(-x+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=m(x)(x^2+x+1)+(-x+1)[/tex3]

e [tex3]p(x)=n(x)(x^2-x+1)+(3x+5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=n(x)(x^2-x+1)+(3x+5)[/tex3]

.

O natural é substituir as raízes dos divisores:
[tex3]p\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=-\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=-\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1[/tex3]

[tex3]p\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=3\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=3\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5[/tex3]

E como [tex3]x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/tex3]

, sabemos que essas mesmas raízes zeram [tex3]x^4+x^2+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4+x^2+1[/tex3]

.

Portanto [tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Parece horrível, mas tenho esperança na simetria dos conjugados. Vou somar as duas primeiras:
[tex3]3=2a-b-c+2d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3=2a-b-c+2d[/tex3]

E subtraindo-as em vez de somar (a primeira menos a segunda):
[tex3]{-\sqrt{3}\mathrm{i}}=-b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{-\sqrt{3}\mathrm{i}}=-b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

que pode ser simplificado para [tex3]b=c+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=c+1[/tex3]

.

Vejamos se somos tão felizes com as duas últimas. Somando:
[tex3]13=-2a-b+c+2d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]13=-2a-b+c+2d[/tex3]

Terceira menos quarta:
[tex3]3\sqrt{3}\mathrm{i}=b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\sqrt{3}\mathrm{i}=b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

que significa [tex3]b+c=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b+c=3[/tex3]

.

Já temos [tex3](c+1)+c=3\Rightarrow2c=2\Rightarrow\boxed{c=1}\Rightarrow\boxed{b=2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](c+1)+c=3\Rightarrow2c=2\Rightarrow\boxed{c=1}\Rightarrow\boxed{b=2}[/tex3]

Falta só achar [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d[/tex3]

.

[tex3]3=2a-2-1+2d\Rightarrow2a+2d=3+3=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3=2a-2-1+2d\Rightarrow2a+2d=3+3=6[/tex3]

, ou seja, [tex3]a+d=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+d=3[/tex3]

.

Por outro lado, [tex3]13=-2a-2+1+2d\Rightarrow2a-2d=-1-13=-14[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]13=-2a-2+1+2d\Rightarrow2a-2d=-1-13=-14[/tex3]

e aí [tex3]a-d=-7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a-d=-7[/tex3]

.

Somando essas "a+d" e "a-d" fica [tex3]2a=-4\Rightarrow\boxed{a=-2}\Rightarrow\boxed{d=5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2a=-4\Rightarrow\boxed{a=-2}\Rightarrow\boxed{d=5}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow\boxed{r(x)=-x^3+2x^2+x+5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Rightarrow\boxed{r(x)=-x^3+2x^2+x+5}[/tex3]

.

Alguém conseguiu fazer sem os complexos?

[olgario]

Queremos saber [tex3]r(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3]

em [tex3]p(x)=q(x)(x^4+x^2+1)+r(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=q(x)(x^4+x^2+1)+r(x)[/tex3]

. Como informações temos [tex3]p(x)=m(x)(x^2+x+1)+(-x+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=m(x)(x^2+x+1)+(-x+1)[/tex3]

e [tex3]p(x)=n(x)(x^2-x+1)+(3x+5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=n(x)(x^2-x+1)+(3x+5)[/tex3]

.

O natural é substituir as raízes dos divisores:
[tex3]p\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=-\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=-\(\frac{-1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1[/tex3]

[tex3]p\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=3\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)=3\(\frac{1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5[/tex3]

E como [tex3]x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/tex3]

, sabemos que essas mesmas raízes zeram [tex3]x^4+x^2+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4+x^2+1[/tex3]

.

Portanto [tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Olá, fabit.

Estive calmanente a tentar entender a sua resolução da questão. No geral, acho que deu pra entender tudo, excepto o seguinte. Como você chegou nos valores dos membros da direita das equações após as somas e subtrações que refere, tal como citado abaixo ?

Parece horrível, mas tenho esperança na simetria dos conjugados. Vou somar as duas primeiras:
[tex3]3=2a-b-c+2d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3=2a-b-c+2d[/tex3]

E subtraindo-as em vez de somar (a primeira menos a segunda):
[tex3]{-\sqrt{3}\mathrm{i}}=-b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{-\sqrt{3}\mathrm{i}}=-b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

que pode ser simplificado para [tex3]b=c+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=c+1[/tex3]

.

Vejamos se somos tão felizes com as duas últimas. Somando:
[tex3]13=-2a-b+c+2d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]13=-2a-b+c+2d[/tex3]

Terceira menos quarta:
[tex3]3\sqrt{3}\mathrm{i}=b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\sqrt{3}\mathrm{i}=b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}[/tex3]

que significa [tex3]b+c=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b+c=3[/tex3]

.

Nos membros da esquerda eu cheguei lá.

Soma das duas primeiras:
[tex3]-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\,+\,\[-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)\]+1[/tex3]

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[tex3]-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\,+\,\[-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)\]+1[/tex3]

[tex3]\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\,+\,\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\,+\,\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\,+\,\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\,+\,\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\,\cancel{-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+1\,+\,\frac{1}{2}\,\cancel{+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+\,1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}\,\cancel{-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+1\,+\,\frac{1}{2}\,\cancel{+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+\,1[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1+1[/tex3]

[tex3]\frac{2}{2}+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{2}+2[/tex3]

[tex3]1+2=\,\box{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+2=\,\box{3}[/tex3]

E subtraindo-as em vez de somar (a 1ª menos a 2ª)
[tex3]-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\,-\,\[-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\,-\,\[-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\][/tex3]

[tex3]-\(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\,-\,\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1\,-\,\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1\)[/tex3]

[tex3]\cancel{\frac{\,1\,}{2}}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,{\cancel{+1}}\,\cancel{-\frac{\,1\,}{2}}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,{\cancel{-1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cancel{\frac{\,1\,}{2}}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,{\cancel{+1}}\,\cancel{-\frac{\,1\,}{2}}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,{\cancel{-1}}[/tex3]

[tex3]\cancel{2}\cdot{\frac{-\sqrt{3}\mathrm{i}}{\cancel{2}}=\, \box{-{\sqrt{3}\mathrm{i}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cancel{2}\cdot{\frac{-\sqrt{3}\mathrm{i}}{\cancel{2}}=\, \box{-{\sqrt{3}\mathrm{i}}}[/tex3]

Vejamos se somos tão felizes com as 2 últimas. Somando.
[tex3]3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,+3\(\frac{1-\sqrt{3}\math{i}}{2}\)+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,+3\(\frac{1-\sqrt{3}\math{i}}{2}\)+5[/tex3]

[tex3]3\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,+3\(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,+3\(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}+\,\cancel{\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+5\,+\,\frac{3}{2}\,\cancel{-\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2}+\,\cancel{\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+5\,+\,\frac{3}{2}\,\cancel{-\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}+5[/tex3]

[tex3]\frac{\,3\,}{2}+\frac{\,3\,}{2}+5+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\,3\,}{2}+\frac{\,3\,}{2}+5+5[/tex3]

[tex3]\frac{\,6\,}{2}+10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\,6\,}{2}+10[/tex3]

[tex3]3+10\,=\box{13}[/tex3]

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[tex3]3+10\,=\box{13}[/tex3]

A 3ª menos a 4ª.
[tex3]3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,-\[3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\][/tex3]

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[tex3]3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,-\[3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\][/tex3]

[tex3]3\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,-\(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+5\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5\,-\(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+5\)[/tex3]

[tex3]\cancel{\frac{\,3\,}{2}}+\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,\cancel{+5}\,\cancel{-\frac{\,3\,}{2}}+\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,\cancel{-5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cancel{\frac{\,3\,}{2}}+\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,\cancel{+5}\,\cancel{-\frac{\,3\,}{2}}+\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\,\cancel{-5}[/tex3]

[tex3]\cancel{2}\cdot{\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{\cancel{2}}\,=\box{3\sqrt{3}\mathrm{i}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cancel{2}\cdot{\frac{3\sqrt{3}\mathrm{i}}{\cancel{2}}\,=\box{3\sqrt{3}\mathrm{i}}[/tex3]

Agora o que me está sendo difícil é achar os membros do lado direito. Não quero abusar da sua boa vontade. Mas será que daria pra me explicar por favor ?
É preciso desenvolver toda aquela parafernália de casos notáveis, cúbicos e quadrados, com complexos à mistura, ou a coisa é mais simples do que parece ?
[tex3]3= \box{2a-b-c+2d}[/tex3]

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[tex3]3= \box{2a-b-c+2d}[/tex3]

?

[tex3]-{\sqrt{3}\mathrm{i}}= \box{-b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}}[/tex3]

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[tex3]-{\sqrt{3}\mathrm{i}}= \box{-b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}}[/tex3]

?


[tex3]13=\box{-2a-b+c+2d}[/tex3]

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[tex3]13=\box{-2a-b+c+2d}[/tex3]

?


[tex3]3\sqrt{3}\mathrm{i}=\box{b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}}[/tex3]

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[tex3]3\sqrt{3}\mathrm{i}=\box{b\sqrt{3}\mathrm{i}+c\sqrt{3}\mathrm{i}}[/tex3]

?

E para terminar. Com os dados obtidos é possível determinar o polinómio [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

?

Grato pela atenção.
Olgario

[fabit]

Não dá pra achar p(x). Foram usados q(x), m(x) e n(x) na solução, mas apenas para representar os quocientes. Não temos acesso a eles e provavelmente não são únicos. Claro que, se tivéssemos qualquer um deles, acharíamos os demais e também o próprio p(x), mas a realidade é que nem o grau deles está determinado nessa questão.

Com relação às contas do lado direito, a resposta à sua pergunta "A coisa é mais simples do que parece?" é Sim, desde que você saiba certos fatos acerca de números complexos, sem os quais haveria de desenvolver os cúbicos com extremo cuidado, dado o imenso tamanho da expressão resultante.

O mais relevante desses fatos é a natureza rotacional que a operação de multiplicação de complexos possui (e que a potenciação adquire por herança). Quando se multiplica dois complexos, o produto é obtido multiplicando seus módulos e somando seus argumentos. Assim, o cubo de um complexo é outro complexo com o cubo do módulo e o triplo do ângulo que o complexo original mantinha com o eixo dos reais.

As raízes de [tex3]x^2+x+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+x+1=0[/tex3]

são dois complexos conjugados de módulo unitário com argumentos de 120 graus (positivos pra um e negativos pro outro). Ao elevar ao quadrado eles trocam de lugar porque 240 e -240 são arcos côngruos, respectivamente, aos originais -120 e 120. E ao cubo eles resultam em 1 porque o ângulo fica 360 ou -360 (côngruo a 0 graus).

Agora vou detalhar meu post:

Portanto [tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Parece horrível, mas tenho esperança na simetria dos conjugados. Vou somar as duas primeiras:
[tex3]3=2a-b-c+2d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3=2a-b-c+2d[/tex3]

Se você entendeu o que falei sobre complexos fica fácil ver que [tex3]\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=1[/tex3]

E que [tex3]\begin{cases}\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\\\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\\\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{cases}[/tex3]

Deste modo, dá pra passar a limpo o trecho abaixo:

Portanto [tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

como se tivesse sido assim...

Portanto [tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=a\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3+b\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Com isso as duas primeiras já não parecem tão horríveis.

As raízes de [tex3]x^2-x+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-x+1=0[/tex3]

também são conjugados unitários, mas os ângulos são de 60 e de -60 graus. O quadrado dobra os ângulos para 120 e -120 e o cubo triplica os ângulos para 180 e -180 (ou seja, -1 é o cubo de ambos!).

Então [tex3]\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=-1[/tex3]

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[tex3]\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^3=-1[/tex3]

e [tex3]\begin{cases}\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\\\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\\\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)^2=\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\end{cases}[/tex3]

(...)

Portanto [tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=-a+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=-a+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
-\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+1=a+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=-a+b\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d \\
3\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+5=-a+b\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+c\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)+d
\end{cases}[/tex3]

E agora? Você consegue continuar daqui?

Se não conseguir, pode pedir mais ajuda. E se não entendeu algo acima, também. É um prazer ajudar.