IME / ITA

Mensagem não lida por **brunoafa** » 20 Mai 2015, 16:53

Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências:
$\lambda_{1}: x^2+y^2+2x-4y-1=0$
$\lambda_{2}: 4x^2+4y^2+12x-8y-15=0$
$\lambda_{3}: (x-7)^2+(y+3)^2=8$

O tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura, em metros, é igual a média aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, possui volume, em $m^3$ , igual a:

A) $\frac{21}{2}$
B) $\frac{49}{4}$
C) $\frac{49}{2}$
D) $\frac{21}{4}$

Gabarito: B

Bom, eu achei a area do triângulo como $\frac{9}{2}$ e a altura como $27$ m

Então $V= \frac{1}{3} \cdot A \cdot B$ , seria $\frac{27}{2}$ mas não bate com as alternativas...

Fiz aqui e bateu com a alternativa B

$\lambda_1 : (x+1)^2 +(y-2)^2 =6$
$\lambda _2 : (x+ 1,5)^2+(y-1)^2 =7$
$\lambda_3 : (x-7)^2 +(y+3)^2 =8$
Centros:
$A=(-1,2,0) , B=(-1,5,1,0) ,C= (7,-3,0)$ (o triângulo está no plano xy, logo todos possuem cota zero)
$\vec{AC}= (7,-3,0) - (-1,2,0) =(8,-5,0)$
$\vec{AB}= (-1,5,-1,0) - (-1,2,0) = (-1,5 ,-1,0)$
A área será dada por:
$A= \frac{|| \vec{AB} \times \vec{AC}||}{2}$
Como $\vec{AB} \times \vec{AC} = \frac{21}{2} \vec{k}$ , resulta que:
$A= \frac{21}{4}$
A altura sera dada por:
$h- \frac{6+7+8}{3}= \frac{21}{3}$
Resulta então:
$V= \frac{1}{3} \frac{21}{4} \frac{21}{3}= \frac{49}{4}$
obs: usei vetores, pois acho mais cômodo. Você poderia trabalhar apenas com as coordenadas dos pontos como o usual no ensino médio, calculando a área através daquele determinante. Porém recomendo fortemente você dar uma olhada em vetores e suas operações, nesse caso produto vetorial. Facilitará sua vida até mesmo em problemas de geometria plana. Um livro que acho ótimo é "geometria analítica, um tratamento vetorial" do Boulos.

Mensagem não lida por **brunoafa** » 20 Mai 2015, 20:10

Por que você usou mais de uma coordenada para os pontos?

Eu achei raios $\sqrt6,\sqrt67,\sqrt8$ não está certo?

Eu diz diferente....

Achei os centros: $(-1,2),(-6,4),(7,-3)$ e calculei a aréa por aquele "Distositivo Delta".

Enfim, não entendi muito bem sua resolução, depois dou uma olhada melhor, mas queria saber onde errei na minha.

Ok, trabalhando com pontos
$C_1 =(-1,2) , C_2= (-1,5,1) , C_3= (7,-3)$
A área será:
$A= \frac{|\det M|}{2}$
$M =\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1& 1 \\ 7 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Depois de feito os cálculos, encontramos $\det M = \frac{21}{2}$
Logo, $A= \frac{21}{4}$ .
depois só proceder da mesma forma
Viu o erro ?

Ah ele disse o quadrado dos raios...

Por que quando resolvemos a área do triângulo pela matriz não achamos o resultado correto?
Resolvi a matriz com os centros (-1;2), (-1,5;1), (7;-3) e cheguei ao resultado 10/2 para achar a área é só dividir por 2, então: 10/4.
Sendo a altura do tetraedro igual a 7, temos o volume: 1/3 × 10/4 × 7 = 35/6.

IME / ITA ⇒ (AFA) Geometria Analítica

(AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão

Crie uma nova conta

Entrar

IME / ITA ⇒ (AFA) Geometria Analítica

(AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Re: (AFA) Geometria Analítica

Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão

Crie uma nova conta

Entrar

EntrarcRegistrar