Ensino Fundamental

cicero444 · Mensagem não lida por **cicero444** » 21 Abr 2015, 15:56

No triângulo ABC, podemos traçar as paralelas à base AC, pelos pontos X e Y, tal que as áreas das regiões cinzentas sejam iguais. Se a razão BX : XA é igual a 4:1 então qual é a razão BY :YA?

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(A) 1:1 (B) 2:1 (C) 3:1 (D) 3:2 (E) 4:3

a alternativa correta e a D)

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 23 Abr 2015, 14:46 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 23 Abr 2015, 14:46

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Os triângulos $BXD$ e $BAC$ são semelhantes e, portanto, existe uma constante de proporcionalidade $k_1=\frac{4}{5}$ que define a razão entre os lados correspondentes de cada um deles, assim como de suas cevianas notáveis.

Portanto,

$A_{BAC}=\frac{bh}{2}$
$A_{BXD}=\frac{\frac{4b}{5}\cdot\frac{4h}{5}}{2}=\frac{8bh}{25}$

E, consequentemente,

$A_{BYE}=A_{ACDX}=A_{BAC}-A_{BXD}=\frac{bh}{2}-\frac{8bh}{25}=\frac{9bh}{50}$

Daí, podemos calcular a razão entre as áreas,

$\frac{A_{BYE}}{A_{BAC}}=\frac{\frac{9bh}{50}}{\frac{bh}{2}}=\frac{9}{25}$

Voltando na questão de semelhança entre triângulos, $BYE$ e $BAC$ também são semelhantes e, portanto, também existe uma outra constante de proporcionalidade $k_2$ que define a razão entre os lados correspondentes de cada um deles, assim como de suas cevianas notáveis.

Além disso, por conta dessa semelhança, temos que a área do menor corresponde a ${k_2}^2$ da do maior.

Demonstração:

$A_{BAC}=\frac{bh}{2}$
$A_{BYE}=\frac{(b\cdot k_2)(h\cdot k_2)}{2}=\frac{bh\cdot{k_2}^2}{2}$

Portanto, a razão entre as áreas de $BYE$ e $BAE$ é igual a

$\frac{\frac{bh\cdot{k_2}^2}{2}}{\frac{bh}{2}}={k_2}^2$ (isso tem que estar no sangue)

Concluímos então que,

${k_2}^2=\frac{9}{25}\Rightarrow k_2=\frac{3}{5}$ , ou seja, $BA=5x\Rightarrow BY=3x$

E como,

$k_1=\frac{4}{5}\wedge BA=5x\Rightarrow BX=4x$

E,

$XA=BA-BX=5x-4x=x$

Temos que,

$YX=BX-BY=4x-3x=x\Rightarrow YA=x+x=2x\Rightarrow\frac{BY}{YA}=\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$

Espero que não tenha ficado muito confuso no final.

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