15º
Ensino Médio ⇒ Mediana de um Triangulo ABC Tópico resolvido
- MatheusAragão
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Fev 2015
19
14:57
Mediana de um Triangulo ABC
Seja um triângulo ABC e AD a mediana relativa ao lado BC. Se m(ABC) = x e m(BAD) = m(ACB) = 2x, encontre x:
15º
Resposta
15º
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Fev 2015
19
19:50
Re: Mediana de um Triangulo ABC
dica o tamanho da mediana partindo do vértice [tex3]A[/tex3]
[tex3]m_a^2 = \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}[/tex3]
Eu confundi, desculpa eu pensei que os ângulos que você deu ai fossem tamanhos de medianas
vale[tex3]m_a^2 = \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}[/tex3]
Eu confundi, desculpa eu pensei que os ângulos que você deu ai fossem tamanhos de medianas
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Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
- MatheusAragão
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Fev 2015
20
10:21
Re: Mediana de um Triangulo ABC
Por trigonometria dá pra fazer, temos dois triângulos semelhantes: [tex3]\Delta ABD[/tex3]
[tex3]\frac{c}{a} = \frac{\frac{a}2}{c} \rightarrow a^2 = 2c^2 \rightarrow a = c\sqrt 2[/tex3]
aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]ABD[/tex3]
[tex3]\frac{c}{\sin(3x)} = \frac{\frac{a}2}{\sin(2x)}[/tex3]
[tex3]2c\sin(2x) = a\sin(3x)[/tex3]
[tex3]2\sin(2x) = \sqrt 2 \sin(3x)[/tex3]
abrindo tudo com arco duplo e triplo
[tex3]4\sin(x)\cos(x) = \sqrt{2} \sin(x)(3-4\sin^2(x))[/tex3]
[tex3]2\sqrt2\cos(x) = 3- 4(1-cos^2(x))[/tex3]
[tex3]2\sqrt2\cos(x) = 4\cos^2(x) -1[/tex3]
[tex3]8\cos(x) = 2\sqrt2 \pm \sqrt{8 +16}[/tex3]
[tex3]8\cos(x) = 2\sqrt2 \pm 2\sqrt6[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{\sqrt2 \pm \sqrt6}4[/tex3]
o cosseno negativo não interessa pois x deve ser agudo
[tex3]\cos(x) = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}4[/tex3]
[tex3]x[/tex3] é 15 graus.
Deve dar pra fazer por geometria plana.
e [tex3]\Delta CBA[/tex3]
[tex3]\frac{c}{a} = \frac{\frac{a}2}{c} \rightarrow a^2 = 2c^2 \rightarrow a = c\sqrt 2[/tex3]
aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]ABD[/tex3]
[tex3]\frac{c}{\sin(3x)} = \frac{\frac{a}2}{\sin(2x)}[/tex3]
[tex3]2c\sin(2x) = a\sin(3x)[/tex3]
[tex3]2\sin(2x) = \sqrt 2 \sin(3x)[/tex3]
abrindo tudo com arco duplo e triplo
[tex3]4\sin(x)\cos(x) = \sqrt{2} \sin(x)(3-4\sin^2(x))[/tex3]
[tex3]2\sqrt2\cos(x) = 3- 4(1-cos^2(x))[/tex3]
[tex3]2\sqrt2\cos(x) = 4\cos^2(x) -1[/tex3]
[tex3]8\cos(x) = 2\sqrt2 \pm \sqrt{8 +16}[/tex3]
[tex3]8\cos(x) = 2\sqrt2 \pm 2\sqrt6[/tex3]
[tex3]\cos(x) = \frac{\sqrt2 \pm \sqrt6}4[/tex3]
o cosseno negativo não interessa pois x deve ser agudo
[tex3]\cos(x) = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}4[/tex3]
[tex3]x[/tex3] é 15 graus.
Deve dar pra fazer por geometria plana.
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Razão: tex --> tex3
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- MatheusAragão
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Fev 2015
20
11:46
Re: Mediana de um Triangulo ABC
Olá Galera,
Vou deixar uma dica: Mostrem que [tex3]FA=FE=FB[/tex3] , e com isto o problema está solucionado, pois teremos:
[tex3](60+x)+(60+x)+2x=180[/tex3]
[tex3]\boxed{x=15^\circ}[/tex3]
PS.: As linhas em vermelho são traços auxiliares.
Qualquer coisa é só perguntar.
Abraço.
Vou deixar uma dica: Mostrem que [tex3]FA=FE=FB[/tex3] , e com isto o problema está solucionado, pois teremos:
[tex3](60+x)+(60+x)+2x=180[/tex3]
[tex3]\boxed{x=15^\circ}[/tex3]
PS.: As linhas em vermelho são traços auxiliares.
Qualquer coisa é só perguntar.
Abraço.
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Razão: tex --> tex3
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- MatheusAragão
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Fev 2015
20
17:35
Re: Mediana de um Triangulo ABC
vc traçou um triang equi , entao FA = FB , como prova q = FE ?
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Fev 2015
28
10:37
Re: Mediana de um Triangulo ABC
Pegue o ponto [tex3]X[/tex3]
: de encontro da mediatriz de [tex3]BE[/tex3]
com a mediana [tex3]AD[/tex3]
. Se você provar que esse ponto é vértice de um triângulo equilátero [tex3]BXE[/tex3]
o problema acaba também.
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Razão: tex --> tex3
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