Prove por indução que [tex3]2^{n}>n^{2}[/tex3]
, para todo inteiro [tex3]n[/tex3]
, [tex3]n\geq 5[/tex3]
5.
Alguém explica passo a passo? Já li o assunto sobre indução finita mas não entendi muito bem na hora da demonstração com [tex3]k+1[/tex3]
...
Ensino Médio ⇒ Indução finita Tópico resolvido
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escarlatte
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Fev 2015
07
16:31
Indução finita
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candre
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Fev 2015
07
17:13
Re: Indução finita
temos que mostrar que [tex3]2^n>n^2[/tex3]
para todo [tex3]n\in\mathbb{N},n\ge5[/tex3]
.
antes provamos que [tex3]2^n>2n+1[/tex3] para todo [tex3]n\in\mathbb{N},n\ge5[/tex3] .
tomando o caso base [tex3]n=5[/tex3]
[tex3]2^5>2\cdot5+1\\
32>11[/tex3]
admitindo a validade para [tex3]n=k[/tex3] , vamos mostrar a validade para [tex3]n=k+1[/tex3]
[tex3]2^n>2n+1[/tex3]
como [tex3]2^n>2,n>1[/tex3] , logo somando as duas desigualdades temos
[tex3]2^n+2^n>2n+1+2\\
2^n\cdot2>2(n+1)+1\\
2^{n+1}>2(n+1)+1[/tex3]
logo podemos mostrar que [tex3]2^n>n^2[/tex3] para todo [tex3]n\in\mathbb{N},n\ge5[/tex3] .
tomando o caso base [tex3]n=5[/tex3]
[tex3]2^5>5^2\\
32>25[/tex3]
admitindo a validade para [tex3]n=k[/tex3] vamos mostrar a validade para [tex3]n=k+1[/tex3] , de antes provamos que [tex3]2^k>2k+1[/tex3] , tendo
[tex3]2^k>k^2\\
2^k>2k+1[/tex3]
somando as duas desigualdades e lembrando que [tex3](k+1)^2=k^2+2k+1[/tex3] temos que
[tex3]2^k+2^k>k^2+2k+1\\
2^{k+1}>(k+1)^2[/tex3]
antes provamos que [tex3]2^n>2n+1[/tex3] para todo [tex3]n\in\mathbb{N},n\ge5[/tex3] .
tomando o caso base [tex3]n=5[/tex3]
[tex3]2^5>2\cdot5+1\\
32>11[/tex3]
admitindo a validade para [tex3]n=k[/tex3] , vamos mostrar a validade para [tex3]n=k+1[/tex3]
[tex3]2^n>2n+1[/tex3]
como [tex3]2^n>2,n>1[/tex3] , logo somando as duas desigualdades temos
[tex3]2^n+2^n>2n+1+2\\
2^n\cdot2>2(n+1)+1\\
2^{n+1}>2(n+1)+1[/tex3]
logo podemos mostrar que [tex3]2^n>n^2[/tex3] para todo [tex3]n\in\mathbb{N},n\ge5[/tex3] .
tomando o caso base [tex3]n=5[/tex3]
[tex3]2^5>5^2\\
32>25[/tex3]
admitindo a validade para [tex3]n=k[/tex3] vamos mostrar a validade para [tex3]n=k+1[/tex3] , de antes provamos que [tex3]2^k>2k+1[/tex3] , tendo
[tex3]2^k>k^2\\
2^k>2k+1[/tex3]
somando as duas desigualdades e lembrando que [tex3](k+1)^2=k^2+2k+1[/tex3] temos que
[tex3]2^k+2^k>k^2+2k+1\\
2^{k+1}>(k+1)^2[/tex3]
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a vida e uma caixinha de surpresas.
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Vinisth
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Fev 2015
07
17:21
Re: Indução finita
Olá escarlette,
Note que a inequação funciona para [tex3]n=0,\,n=1[/tex3] e [tex3]n > 4[/tex3]
Supondo que seja verdade para [tex3]n=k[/tex3] , temos:
[tex3]2^{k+1}= 2 \cdot 2^k > 2 k^2=k^2+k^2 >k^2+2k+1=(k+1)^2[/tex3]
Como [tex3]k^2 \geq 2k+1[/tex3] para [tex3]k >2[/tex3] , para [tex3]n >4[/tex3] é sempre verdade a inequação.
Abraço !
Note que a inequação funciona para [tex3]n=0,\,n=1[/tex3] e [tex3]n > 4[/tex3]
Supondo que seja verdade para [tex3]n=k[/tex3] , temos:
[tex3]2^{k+1}= 2 \cdot 2^k > 2 k^2=k^2+k^2 >k^2+2k+1=(k+1)^2[/tex3]
Como [tex3]k^2 \geq 2k+1[/tex3] para [tex3]k >2[/tex3] , para [tex3]n >4[/tex3] é sempre verdade a inequação.
Abraço !
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escarlatte
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Fev 2015
12
22:06
Re: Indução finita
Obrigado gente mas esse assunto é muito difícil ,desisti de entender =(
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Auto Excluído (ID:12031)
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Fev 2015
12
22:39
Re: Indução finita
não tem dificuldade nenhuma nisso ai:
A desigualdade funciona pro número 5 porque [tex3]32 = 2^5 > 5^2 = 25[/tex3]
o negócio é provar que se essa desigualdade é verdade pra algum número natural [tex3]n[/tex3] genérico ela também vale pro número [tex3]n+1[/tex3] . Se conseguir provar isso então como a desigualdade vale pra [tex3]5[/tex3] ela vai valer pra [tex3]6[/tex3] como ela vale pra [tex3]6[/tex3] ela vai valer pra [tex3]7[/tex3] e assim por diante.
foi o que eles fizeram ai em cima, se ela for verdade pra um natural [tex3]n[/tex3] vamos ter
[tex3]2^n > n^2[/tex3]
pode multiplicar os dois lados por dois
[tex3]2\cdot 2^n = 2^{n+1} > 2n^2 = n^2 + n^2[/tex3]
agora se você perceber que pra [tex3]n \geq 5[/tex3] teremos [tex3]n^2 \geq 2n+1[/tex3] você pode dizer que
[tex3]n^2 + (n^2) \geq n^2 + (2n +1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2[/tex3]
então é verdade que
[tex3]2^{n+1} > 2n^2 = n^2 + n^2 \geq n^2 +2n+1 = (n+1)^2[/tex3]
ou então
[tex3]2^{n+1} > (n+1)^2[/tex3]
pode ver que é a mesma desigualdade que a gente queria mostrar ([tex3]2^n > n[/tex3] ) só que ao invés de [tex3]n[/tex3] tem o [tex3]n+1[/tex3] então se a desigualdade é válida pra um [tex3]n[/tex3] ela é válida pra um [tex3]n+1[/tex3] . Como ela é válida pra [tex3]5[/tex3] ela é válida pra [tex3]6,7,8,9,10,...[/tex3] todos naturais maiores que 5.
PS: [tex3]n^2 \geq 2n + 1 \rightarrow n^2-2n \geq 1 \rightarrow n^2 -2n +1 \geq 1+1 \rightarrow (n-1)^2 \geq 2[/tex3]
[tex3]n-1 \geq \sqrt2 \rightarrow n \geq \sqrt2+1 =1.4142... +1 = 2.4...[/tex3] então essa desigualdade [tex3]n^2 \geq 2n+1[/tex3] é válida a partir de [tex3]n\geq 3[/tex3]
A desigualdade funciona pro número 5 porque [tex3]32 = 2^5 > 5^2 = 25[/tex3]
o negócio é provar que se essa desigualdade é verdade pra algum número natural [tex3]n[/tex3] genérico ela também vale pro número [tex3]n+1[/tex3] . Se conseguir provar isso então como a desigualdade vale pra [tex3]5[/tex3] ela vai valer pra [tex3]6[/tex3] como ela vale pra [tex3]6[/tex3] ela vai valer pra [tex3]7[/tex3] e assim por diante.
foi o que eles fizeram ai em cima, se ela for verdade pra um natural [tex3]n[/tex3] vamos ter
[tex3]2^n > n^2[/tex3]
pode multiplicar os dois lados por dois
[tex3]2\cdot 2^n = 2^{n+1} > 2n^2 = n^2 + n^2[/tex3]
agora se você perceber que pra [tex3]n \geq 5[/tex3] teremos [tex3]n^2 \geq 2n+1[/tex3] você pode dizer que
[tex3]n^2 + (n^2) \geq n^2 + (2n +1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2[/tex3]
então é verdade que
[tex3]2^{n+1} > 2n^2 = n^2 + n^2 \geq n^2 +2n+1 = (n+1)^2[/tex3]
ou então
[tex3]2^{n+1} > (n+1)^2[/tex3]
pode ver que é a mesma desigualdade que a gente queria mostrar ([tex3]2^n > n[/tex3] ) só que ao invés de [tex3]n[/tex3] tem o [tex3]n+1[/tex3] então se a desigualdade é válida pra um [tex3]n[/tex3] ela é válida pra um [tex3]n+1[/tex3] . Como ela é válida pra [tex3]5[/tex3] ela é válida pra [tex3]6,7,8,9,10,...[/tex3] todos naturais maiores que 5.
PS: [tex3]n^2 \geq 2n + 1 \rightarrow n^2-2n \geq 1 \rightarrow n^2 -2n +1 \geq 1+1 \rightarrow (n-1)^2 \geq 2[/tex3]
[tex3]n-1 \geq \sqrt2 \rightarrow n \geq \sqrt2+1 =1.4142... +1 = 2.4...[/tex3] então essa desigualdade [tex3]n^2 \geq 2n+1[/tex3] é válida a partir de [tex3]n\geq 3[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 12 Fev 2015, 22:39, em um total de 2 vezes.
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