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Mensagem não lidapor **verga** » 01 Fev 2015, 01:36 · Mensagem não lida por **verga** » 01 Fev 2015, 01:36

Existe algum múltiplo de 2008, na qual a única representação decimal consiste em apenas de um mesmo algarismo.

seja $A\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
um número de tamanho $n$ que só tenha o algarismo $A$ é escrito da seguinte forma:
$AAAA...A$ ( n As)
Se esse número é um múltiplo de $2008$ então ele é par, logo $A$ deve ser par.
Se $A=0$ é óbvio que ele é múltiplo de 2008.Então vamos restringir $A$ ao universo:
$\{2,4,6,8\}$
$A + 10A + 100A + ... + 10^nA = A\frac{(10^{n+1}-1)}{10-1} = \frac{A(10^{n+1}-1)}{9} = A\cdot 11...1$ (n uns)
Fatorando $2008$ temos $2\cdot1004 = 2^2 \cdot 502 =2^3 \cdot 251$
logo se esse número é múltiplo de 2008 ele deve ser divisível por $8$ porém, $11111...11$ é sempre ímpar, logo necessariamente deveríamos ter $A = 8$ e $\frac{10^{n+1}-1}{9} = k\cdot 251$
ou $11...1111$ é divisível por $251$
bom:
$1 \equiv 1 \mod 251$
$11 \equiv 11 \mod 251$
$111 \equiv 111 \mod 251$
$1111 \equiv 107 \mod 251$
repare agora que temos $107 \mod 251$
a sequencia consiste em pegar esse $107$ multiplicar por 10 e somar 1 e quando passar de 251, tirar $251$ até ficar menor que $251$ da algum trabalho mas pode-se mostrar que esses restos serão sempre ímpares logo nunca serão zero e logo nunca $251$ dividirá algum número da forma $11111...111$ o que significa que não existem multiplos de 2018 dessa forma.

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 03 Fev 2015, 21:41 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 03 Fev 2015, 21:41

Olá à todos,

De fato, sousóseu $A=8$ , observe que :
$A(10^{n}-1) \equiv 0 \mod 9k$ , com $k = 2008, A = 8$
$(10^{n}-1) \equiv 0 \mod 9 \cdot 251 \implies 10^n \equiv 1 \mod 251$ , veja que 251 é primo
Onde $n = \phi (251)=250$ , pelo Teorema de Euler-Fermat, por outro lado $10^n \equiv 1 \mod 9$ , $\forall n Z$

$N=8 \left(\frac{10^{250}-1}{9}\right)=\underbrace{88888...888}_{250 \ algarismos}$ , é múltiplo de 2008

Abraço !

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