Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **Hoshyminiag** » 09 Jan 2015, 15:38 · 09 Jan 2015, 15:38

Se x = [tex3]\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}[/tex3] e y = [tex3]\sqrt[3]{\sqrt{189}-8} - \sqrt[3]{\sqrt{189}+8}[/tex3] , então [tex3]x^{n} + y^{n+1}[/tex3] onde n [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{N}[/tex3] , é igual a:

a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2

Resposta

C

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 09 Jan 2015, 20:24 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 09 Jan 2015, 20:24

Olá Hoshyminiag,

$\small (a+b\sqrt{5})^3=\sqrt{5}+2 \implies \begin{cases} a^3+15ab^2=2 \\ 3a^2b+5b^3=1 \end{cases} \implies a^3+15ab^2=2(3a^2b+5b^3)$
Dividindo por $b^3$ e chamando $\frac{a}{b}=t$
$t^2 - 6t^2 + 15t -10 = (t-1)(t^2-5t+10)=0$
$\therefore a=b=\frac{1}{2}$
Pela simetria
$\frac{1}{8}(1\pm \sqrt{5})^3=\sqrt{5}\pm2$ , logo
$x=-1$ , deixo para você mostrar $y=-1$
$x^n+y^{n+1}=(-1)^n+(-1)^{n+1}=0 \ \ \ \foralln \ in\ N$

Abraço !

Mensagem não lidapor **Hoshyminiag** » 10 Jan 2015, 23:02 · 10 Jan 2015, 23:02

De onde veio que [tex3]a^{3}[/tex3] + 15a [tex3]b^{2}[/tex3] = 2 e 3 [tex3]a^{2}[/tex3] b + 5 [tex3]b^{3}[/tex3] = 1 ?

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 27 Jan 2015, 02:19 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 27 Jan 2015, 02:19

$(a+b\sqrt{5})^3=a^3+3\sqrt{5}a^2b+15ab^2+5\sqrt{5}b^3=\sqrt{5}+2$
Iguala o que é racional e o que é irracional, que você chegará no sistema, senão entender dá um toque.

Um abraço !

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