Ensino Superior

CarlosDaNiel · 25 Jan 2015, 00:01

Estou com essa questão ,porem não consigo prova-lá.
é dividida em 2 partes que são:

z é um número complexo, e seu conjugado z conjugado
i é a unidade imáginária

a)Mostre que (dP/dx -dQ/dy) + i(dP/dx + dQ/dy) = 2.(dB/z conjugado) ,onde B(z,z conjugado) = P(x,y)+ iQ(x,y)

b)Se B(z,z conjugado) é continua e tem derivadas parciais continuas numa região R e sobre sua fronteira C,prove que o teorema de Green pode ser enunciado da seguinte maneira

só tenho a imagem dessa equação,mas a estrutura é a mesma para a)

25 Jan 2015, 02:01

Seja:
$B(z,\bar{z}) = P(z,\bar{z}) + iQ(z,\bar{z})$
temos:
$\frac{\partial B}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial P}{\partial \bar{z}} + i\frac{\partial Q}{\partial \bar{z}}$
pela regra da cadeia
$dP = \frac{\partial P}{\partial \bar{z}}d\bar{z} + \frac{\partial P}{\partial z}dz = \frac{\partial P}{\partial x}dx + \frac{\partial P}{\partial y}dy$
como
$z=x+iy \rightarrow dz = dx + idy$
$\bar{z} = x-iy \rightarrow d\bar{z} = dx - idy$
$\begin{cases} \frac{\partial P}{\partial \bar{z}} + \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial P}{\partial x} \\ -i\frac {\partial P}{\partial \bar{z}} + i\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial P}{\partial y} \end{cases}$
de onde
$2\frac{\partial P}{\partial \bar{z}} =\frac{\partial P}{\partial x} + i \frac{\partial P}{\partial y}$
analogamente para $Q$
$2\frac{\partial Q}{\partial \bar{z}} =\frac{\partial Q}{\partial x} + i \frac{\partial Q}{\partial y}$
logo
$2i\frac{\partial Q}{\partial \bar{z}} =i\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y}$
somando as duas equações:
$2\frac{\partial P}{\partial \bar{z}} + 2i\frac{\partial Q}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial P}{\partial x} + i \frac{\partial P}{\partial y} + i\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y}$
$2\frac{\partial (P+iQ)}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial P}{\partial x}- \frac{\partial Q}{\partial y} + i (\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x})$
$2\frac{\partial B}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial P}{\partial x}- \frac{\partial Q}{\partial y} + i (\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x})$

.........................................................................

lembre-se que os complexos tem a cara de um vetor:
$z =(a,b)$
Então se vc tem uma função com parte real $P(x,y)$ e parte imaginária $Q(x,y)$
tem o vetor:
$B= (P,Q)$ ou, se preferir $B(z) =P(z) +iQ(z) = P(x,y) + iQ(x,y)$
aqui, essas integrais são em contornos que satisfazem as condições do teorema de Green:
$\int\limits_{}^{}Bdz = \int\limits_{}^{}(P +iQ)(dx+idy) =$
$\int\limits_{}^{}(Pdx - Qdy) + i\int\limits_{}^{}(Pdy + Qdx) =$
aplica o teorema de Green nessas integrais em algum contorno.
$\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}-\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{ \partial P}{\partial y} dxdy$
A da direita vai ser
$i\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}-\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{ \partial P}{\partial x} dxdy$
a soma das duas é:
$\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}-\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{ \partial P}{\partial y}+ i(-\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{ \partial P}{\partial x}) = \int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{} dxdy 2i\frac{\partial B}{\partial \bar{z}}$
lembrando que:
$2\frac{\partial B}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial P}{\partial x}- \frac{\partial Q}{\partial y} + i (\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x})$
agora é só manipular essa expressão com as relações de Cauchy-Riemman:
$\begin{cases} \frac{\partial Q}{\partial x} =- \frac{ \partial P}{\partial y} \\ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{ \partial P}{\partial x} \end{cases}$
e ver que a integral acima é zero, bem como:
$2\frac{\partial B}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial P}{\partial x}- \frac{\partial Q}{\partial y} + i (\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x})$
ou manipular de forma conveniente para a escrever a integral acima como $2\frac{\partial B}{\partial \bar{z}}$ de qualquer forma vai ser igual porque vai ser tudo zero.

CarlosDaNiel · 25 Jan 2015, 12:53

Muito obrigado,fiquei preso nela e não via como resolver,muito obrigado mesmo

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