Ensino Superior ⇒ Convergência Tópico resolvido

[candre]

a serie

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[tex3]\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^n}-\frac{1}{n!+n}\right)[/tex3]

converge ou diverge?

[Fantini]

Como todos os termos das séries [tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}[/tex3]

e [tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!+n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!+n}[/tex3]

são positivos, se elas convergirem a convergência será absoluta.

Aplicamos o teste da razão na primeira série. Temos que

[tex3]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}} = 0 < 1,[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}} = 0 < 1,[/tex3]

logo é convergente. Para a segunda série, notamos que

[tex3]\frac{1}{n!+n} < \frac{1}{n!}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{n!+n} < \frac{1}{n!}[/tex3]

e aplicamos o teste da razão no termo dominante [tex3]1/n![/tex3]

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[tex3]1/n![/tex3]

. A convergência seguirá pela comparação. Temos que

[tex3]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1,[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1,[/tex3]

e assim também é convergente. Portanto a série

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n} - \frac{1}{n!+n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n} - \frac{1}{n!+n}[/tex3]

é convergente.