IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - Modificada) - Racionalização Tópico resolvido

[Hoshyminiag]

Racionalize e simplifique a expressão e, em seguida, diga o valor correspondente a ela:

[tex3]\frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{3.\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{6})}{3.\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex3]

Resposta

---

3

[Fantini]

A resposta está errada. Seja [tex3]a = \frac{2}{3} \cdot \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = \frac{2}{3} \cdot \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}.[/tex3]

Então [tex3]a^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{(2+6+4\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{4(2+\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}} = \frac{16}{9}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{(2+6+4\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{4(2+\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}} = \frac{16}{9}.[/tex3]

Portanto [tex3]a = \frac{4}{3}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = \frac{4}{3}.[/tex3]

[LucasPinafi]

De fato, a resposta está errada.
Mas aqui tenho outra resolução, sem recorrer a elevar ao quadrado, e o exercício também pede para racionalizar o denominador:

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[tex3]\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex3]

Repare que

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[tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3(\sqrt{3}+1)}=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-1)}{3.2}[/tex3]

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[tex3]\frac{2(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{3}=\frac{4}{3}[/tex3]