Ensino Médio

Mensagem não lidapor **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 20:17 · Mensagem não lida por **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 20:17

Pra todo inteiro $n>1$ , prove que

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}}> \frac{3n}{2n +1}$

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 12 Dez 2014, 21:14

Olá,

Inicialmente, devemos considerar a veracidade da seguinte afirmação:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}}\geq 2-\frac{1}{n}$

Para $n=2$ , teremos que $1+\frac{1}{2^2}>2-\frac{1}{2}$ (verdadeiro)

Supondo que para $n=k$ seja válido,

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{k^{2}}\geq 2-\frac{1}{k}$

provemos que valha para $n=k+1$ . Somando $\frac{1}{(k+1)^2}$ em ambos os membros:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}$

Então devemos provar que

$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k+1}$

Porém,

$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k+1}\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,k^2+2k\geq k^2+2k+1$

O que é uma tautologia. Provada essa inequação, solucionamos o exercício provando que

$\frac{3n}{2n+1}<2-\frac{1}{n}$

O que é uma verdade, pois $n>1$

Espero ter ajudado, abraço.

Mensagem não lidapor **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 21:30 · Mensagem não lida por **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 21:30

jrneliodias escreveu:Olá,

Inicialmente, devemos considerar a veracidade da seguinte afirmação:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}}\geq 2-\frac{1}{n}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}}\geq 2-\frac{1}{n}[/tex3]

Para $n=2$
Código: Selecionar tudo
[tex3]n=2[/tex3]
, teremos que $1+\frac{1}{2^2}>2-\frac{1}{2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]1+\frac{1}{2^2}>2-\frac{1}{2}[/tex3]
(verdadeiro)

Supondo que para $n=k$
Código: Selecionar tudo
[tex3]n=k[/tex3]
seja válido,

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{k^{2}}\geq 2-\frac{1}{k}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{k^{2}}\geq 2-\frac{1}{k}[/tex3]

provemos que valha para $n=k+1$
Código: Selecionar tudo
[tex3]n=k+1[/tex3]
. Somando $\frac{1}{(k+1)^2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{1}{(k+1)^2}[/tex3]
em ambos os membros:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}[/tex3]

Então devemos provar que

$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k+1}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k+1}[/tex3]

Porém,

$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k+1}\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,k^2+2k\geq k^2+2k+1$
Código: Selecionar tudo
[tex3]2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\geq 2-\frac{1}{k+1}\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,k^2+2k\geq k^2+2k+1[/tex3]

O que é uma tautologia. Provada essa inequação, solucionamos o exercício provando que

$\frac{3n}{2n+1}<2-\frac{1}{n}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{3n}{2n+1}<2-\frac{1}{n}[/tex3]

O que é uma verdade, pois $n>1$
Código: Selecionar tudo
[tex3]n>1[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

sorry, não entendi direito o início de sua resolução,podeira explicar melhor? de onde surgiu essa afirmação(relação)?

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 12 Dez 2014, 22:04

Kirito,

A primeira relação trouxe de uma série de exercícios que conclui quando estudava o assunto. Entretanto, não afirmaria que essa é a única solução. Essa é apenas a minha interpretação.

Indução Finita tem essa parte de decoreba mesmo. Quando estudares Somatórios, limites e integrais verá que a maioria possui demonstrações mais precisas.

Abraço.

Mensagem não lidapor **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 22:13 · Mensagem não lida por **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 22:13

jrneliodias escreveu:Kirito,

A primeira relação trouxe de uma série de exercícios que conclui quando estudava o assunto. Entretanto, não afirmaria que essa é a única solução. Essa é apenas a minha interpretação.

Indução Finita tem essa parte de decoreba mesmo. Quando estudares Somatórios, limites e integrais verá que a maioria possui demonstrações mais precisas.

Abraço.

tenho noção de limite , integrais e derivadas...só que eu queria mesmo é entender essa relação, porque assim eu fiquei voando na resolução '-'

para n=2:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{5}{4}> \frac{6}{5}$

suponha válida para n:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}}> \frac{3n}{2n +1}$

então

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}}> \frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} >$
$> \frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} - \frac{n(n+2)}{(n+1)^2(2n+1)(2n+3)} = \frac{3(n+1)}{2(n+1)+1}$

c.q.d

Mensagem não lidapor **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 23:39 · Mensagem não lida por **kiritoITA** » 12 Dez 2014, 23:39

sousóeu escreveu:para n=2:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{5}{4}> \frac{6}{5}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{5}{4}> \frac{6}{5}[/tex3]

suponha válida para n:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}}> \frac{3n}{2n +1}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}}> \frac{3n}{2n +1}[/tex3]

então

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}}> \frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} >$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{1}{1} + \frac{1}{2^{2}} +\cdots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}}> \frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} >[/tex3]

$> \frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} - \frac{n(n+2)}{(n+1)^2(2n+1)(2n+3)} = \frac{3(n+1)}{2(n+1)+1}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]> \frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} - \frac{n(n+2)}{(n+1)^2(2n+1)(2n+3)} = \frac{3(n+1)}{2(n+1)+1}[/tex3]

c.q.d

so me confundi na ultima linha de tua resolução

kiritoITA escreveu:so me confundi na ultima linha de tua resolução

É assim:

como pra todo n natural a expressão:

$\frac{n(n+2)}{(n+1)^2(2n+1)(2n+3)}$

é positiva, eu posso afirmar que pra todo número natural:

$\frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} > \frac{3n}{2n +1} + \frac{1}{(n+1)^{2}} - \frac{n(n+2)}{(n+1)^2(2n+1)(2n+3)}$

porque do lado esquerdo eu tenho um número positivo e do lado direito eu tirei desse mesmo número um outro número também positivo, certo?

Só que eu não tirei um número qualquer, eu tirei o número equivalente a

$\frac{3n}{2n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{3(n+1)}{2(n+1)+1}$

pode conferir, se você tirar o MMC desses três números e fizer as contas vai ver que essa expressão de cima é aquele número maior:

$\frac{n(n+2)}{(n+1)^2(2n+1)(2n+3)}$

por isso eu consegui mostrar que

$\frac{3n}{2n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} > \frac{3(n+1)}{2(n+1)+1}$

entendeu?

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