Ensino Superior

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 12 Nov 2014, 20:47 · 12 Nov 2014, 20:47

Seja $0<\alpha<\pi$ , determine a seguinte integral:

$\int_{0}^{\sin \alpha}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

Resposta

$\alpha$

A questão parece tranquila, mas quando eu uso a substituição $x=\sin b$ ou $x=\cos b$ , acho outro valor além do $\alpha$ .

Obrigado pela atenção.

Mensagem não lidapor **jedi** » 13 Nov 2014, 18:56 · Mensagem não lida por **jedi** » 13 Nov 2014, 18:56

$x=sen(\theta)$

$dx=cos(\theta)d\theta$

$\int\frac{cos(\theta)}{\sqrt{1-sen^2\theta}}d\theta$

$\int\frac{cos(\theta)}{cos(\theta)}}d\theta$

$\int d\theta$

$\theta$

$=arcsen(x)|_{0}^{sen(\alpha)}$

$=arcsen(sen(\alpha))-0=\alpha$

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 13 Nov 2014, 23:28 · 13 Nov 2014, 23:28

Jedi.

Veja que $\sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$ se $\cos \theta\geq 0$ .

Para isso, $-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

Então quando $x=\sin \alpha =\sin \theta$ , haverá duas possibilidades para o limite superior,

Se $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ , então $\theta=\alpha$

Se $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ , então $\theta=\pi-\alpha$

Dessa forma, haverá como resposta $\alpha$ e $\pi -\alpha$ .

Mensagem não lidapor **jedi** » 14 Nov 2014, 00:04 · Mensagem não lida por **jedi** » 14 Nov 2014, 00:04

mas neste caso devemos considerar apenas para $\alpha$

se considerarmos o outro caso estaremos dizendo que a integral seria

$\int_{0}^{sen(\pi-\alpha)}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

estariamos mudando o limite de integração

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 14 Nov 2014, 00:39 · 14 Nov 2014, 00:39

Como mudaríamos se $\sin \alpha =\sin(\pi-\alpha)$ ?

Mensagem não lidapor **jedi** » 14 Nov 2014, 07:29 · Mensagem não lida por **jedi** » 14 Nov 2014, 07:29

mas no circulo trigonométrico eles representam pontos diferentes logo o caminho pelo qual você calcula a integral mudaria

em vez da integral ir de 0 a $\alpha$

ela iria de $0$ a $\pi-\alpha$

por exemplo a integral

$\int_{0}^{\sqrt a}x.dx$

fazendo teriamos

$\frac{\sqrt a ^2}{2}-0$

$=\frac{a}{2}$

mas

$-\frac{a}{2}$

tambem é reposta da raiz

no entanto a nossa integral vai de $0$ a $\sqrt a$

essa segunda reposta seria para a integral de 0 a $-\sqrt a$

ainda que as funções tenham o mesmo valor nesse dois pontos, trata-se de pontos distinto, ou seja o caminho da integral até eles é diferente

Mensagem não lidapor **ManUtd** » 21 Nov 2014, 13:02 · Mensagem não lida por **ManUtd** » 21 Nov 2014, 13:02

jrneliodias escreveu:Jedi.

Veja que $\sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta[/tex3]
se $\cos \theta\geq 0$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\cos \theta\geq 0[/tex3]
.

Para isso, $-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/tex3]

Então quando $x=\sin \alpha =\sin \theta$
Código: Selecionar tudo
[tex3]x=\sin \alpha =\sin \theta[/tex3]
, haverá duas possibilidades para o limite superior,

Se $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]0<\alpha<\frac{\pi}{2}[/tex3]
, então $\theta=\alpha$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\theta=\alpha[/tex3]

Se $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi[/tex3]
, então $\theta=\pi-\alpha$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\theta=\pi-\alpha[/tex3]

Dessa forma, haverá como resposta $\alpha$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\alpha[/tex3]
e $\pi -\alpha$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\pi -\alpha[/tex3]
.

Não é bem assim, Veja que : $-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ , mas $\sin \alpha= \sin \theta$ tem somente como resposta $\theta=\alpha$ pois $\alpha$ pertence a $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ , se tivéssemos escolhido $\theta=\pi-\alpha$ que pertence a $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ estaremos cometendo um equívoco pois essa identidade $\sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$ não seria verdadeira por causa que o cosseno no segundo quadrante é negativo.

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 21 Nov 2014, 13:45 · 21 Nov 2014, 13:45

Mas é alfa que estaria no segundo quadrante e não teta.

Mensagem não lidapor **ManUtd** » 22 Nov 2014, 19:20 · Mensagem não lida por **ManUtd** » 22 Nov 2014, 19:20

jrneliodias escreveu:Mas é alfa que estaria no segundo quadrante e não teta.

Tens razão, mas então o gabarito está errado.

Veja se dividimos em duas situações :

1º) $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ primeiro quadrante.

temos que : $\int_{0}^{\sin \alpha}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\alpha$

Exemplo numérico: https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 8pi%2F4%29

2º) $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ segundo quadrante.

temos que : $\int_{0}^{\sin \alpha}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\pi-\alpha$

Exemplo numérico: https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 3pi%2F4%29

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