O conjunto-solução da equação sen (x) = sen (4x) , no intervalo 0 < x < p , possui número de elementos igual a:
01) 1
02) 2
03) 3
04) 4
05) 5
Obrigado pela ajuda!
Pré-Vestibular ⇒ (UESC 2007) Trigonometria Tópico resolvido
- Ittalo25
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Nov 2014
19
20:21
Re: (UESC 2007) Trigonometria
Olá,
Acabei chegando numa equação do 3° grau, mas certamente deve existir um modo mais fácil de resolver, já que é uma questão de vestibular tradicional....
[tex3]senx =sen4x[/tex3]
[tex3]senx =2.sen2x.cos2x[/tex3]
[tex3]senx =2.2.senx.cosx.cos2x[/tex3]
[tex3]1 =4.cosx.cos2x[/tex3]
[tex3]1 =4.cosx.(cos^2x-sen^2x)[/tex3]
[tex3]1 =4.cosx.(2cos^2x-1)[/tex3]
[tex3]8cos^3x - 4cosx -1 = 0[/tex3]
Daí, testando os divisores do termo independente: [tex3](1,-1,\frac{1}{2},\frac{-1}{2}....)[/tex3] achei [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3] como raiz.
Diminui o grau por Ruffini, chegando na equação do segundo grau:
[tex3]4cos^2x -2cosx-1 = 0[/tex3]
Com raízes:
[tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{4}[/tex3] e [tex3]\frac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex3]
As soluções para cosx no intervalo de 0 a [tex3]\pi[/tex3] :
[tex3]cosx = \frac{-1}{2}[/tex3]
x = 120°
[tex3]cosx = \frac{1+ \sqrt{5}}{4} = 0,80[/tex3]
x = 36°
[tex3]cosx = \frac{1- \sqrt{5}}{4} = -0,30[/tex3]
x = 108°
3 soluções
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Acabei chegando numa equação do 3° grau, mas certamente deve existir um modo mais fácil de resolver, já que é uma questão de vestibular tradicional....
[tex3]senx =sen4x[/tex3]
[tex3]senx =2.sen2x.cos2x[/tex3]
[tex3]senx =2.2.senx.cosx.cos2x[/tex3]
[tex3]1 =4.cosx.cos2x[/tex3]
[tex3]1 =4.cosx.(cos^2x-sen^2x)[/tex3]
[tex3]1 =4.cosx.(2cos^2x-1)[/tex3]
[tex3]8cos^3x - 4cosx -1 = 0[/tex3]
Daí, testando os divisores do termo independente: [tex3](1,-1,\frac{1}{2},\frac{-1}{2}....)[/tex3] achei [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3] como raiz.
Diminui o grau por Ruffini, chegando na equação do segundo grau:
[tex3]4cos^2x -2cosx-1 = 0[/tex3]
Com raízes:
[tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{4}[/tex3] e [tex3]\frac{1-\sqrt{5}}{4}[/tex3]
As soluções para cosx no intervalo de 0 a [tex3]\pi[/tex3] :
[tex3]cosx = \frac{-1}{2}[/tex3]
x = 120°
[tex3]cosx = \frac{1+ \sqrt{5}}{4} = 0,80[/tex3]
x = 36°
[tex3]cosx = \frac{1- \sqrt{5}}{4} = -0,30[/tex3]
x = 108°
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Editado pela última vez por caju em 11 Jun 2024, 09:32, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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