A excentricidade de [tex3]x^{2}-5\sqrt{3}xy +6y^{2} +k = 0[/tex3]
, [tex3]k > 0[/tex3]
:
A) depende do valor de k
B) não pode ser calculada pois a equação nunca representa uma cônica.
C) é [tex3]\frac{2\sqrt{85}}{17}[/tex3]
.
D) é um número racional
E) NDA
Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade Tópico resolvido
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Nov 2014
18
15:45
Re: Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade
o discriminante da cônica é:
[tex3]\Delta = B^2 - 4AC = (5\sqrt3)^2 - 4\cdot 1\cdot6 = 75 - 24 = 51[/tex3]
como o discriminante é invariante na rotação temos que:
[tex3]-4A'C' = 51[/tex3]
o próximo invariante é a soma [tex3]A + C = 1 + 6 = 7 =A' + C'[/tex3]
Logo [tex3]A'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] são raízes da equação:
[tex3]x^2 - 7x - \frac{51}{4} = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = 7^2 - 4\cdot -\frac{51}{4} = 49 + 51 = 100[/tex3]
[tex3]x = \frac{7\pm 10}{2}[/tex3]
logo:
[tex3]A' = \frac{17}{2}[/tex3]
[tex3]C' = -\frac{3}{2}[/tex3]
A cônica em questão é uma hipérbole da forma:
[tex3]\frac{17x'^2}{2} - \frac{3y'^2}{2} + k = 0[/tex3]
[tex3]k = -\frac{17x'^2}{2} + \frac{3y'^2}{2}[/tex3]
[tex3]1 = -\frac{17x'^2}{2k} + \frac{3y'^2}{2k}[/tex3]
de onde:
[tex3]b^2 = \frac{2k}{17}[/tex3]
[tex3]a^2 = \frac{2k}{3}[/tex3]
logo:
[tex3]c^2 = a^2 + b^2 = \frac{2k}{17} + \frac{2k}{3} = 2k(\frac{1}{17} + \frac{1}{3})[/tex3]
[tex3]c^2 = 2k \frac{20}{51} = \frac{40k}{51}[/tex3]
[tex3]e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{\frac{40k}{51}}{\frac{2k}{51}}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}[/tex3]
cheguei na letra E
[tex3]\Delta = B^2 - 4AC = (5\sqrt3)^2 - 4\cdot 1\cdot6 = 75 - 24 = 51[/tex3]
como o discriminante é invariante na rotação temos que:
[tex3]-4A'C' = 51[/tex3]
o próximo invariante é a soma [tex3]A + C = 1 + 6 = 7 =A' + C'[/tex3]
Logo [tex3]A'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] são raízes da equação:
[tex3]x^2 - 7x - \frac{51}{4} = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = 7^2 - 4\cdot -\frac{51}{4} = 49 + 51 = 100[/tex3]
[tex3]x = \frac{7\pm 10}{2}[/tex3]
logo:
[tex3]A' = \frac{17}{2}[/tex3]
[tex3]C' = -\frac{3}{2}[/tex3]
A cônica em questão é uma hipérbole da forma:
[tex3]\frac{17x'^2}{2} - \frac{3y'^2}{2} + k = 0[/tex3]
[tex3]k = -\frac{17x'^2}{2} + \frac{3y'^2}{2}[/tex3]
[tex3]1 = -\frac{17x'^2}{2k} + \frac{3y'^2}{2k}[/tex3]
de onde:
[tex3]b^2 = \frac{2k}{17}[/tex3]
[tex3]a^2 = \frac{2k}{3}[/tex3]
logo:
[tex3]c^2 = a^2 + b^2 = \frac{2k}{17} + \frac{2k}{3} = 2k(\frac{1}{17} + \frac{1}{3})[/tex3]
[tex3]c^2 = 2k \frac{20}{51} = \frac{40k}{51}[/tex3]
[tex3]e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{\frac{40k}{51}}{\frac{2k}{51}}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}[/tex3]
cheguei na letra E
Editado pela última vez por caju em 22 Mai 2024, 09:58, em um total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
kiritoITA
- Mensagens: 126
- Registrado em: 15 Nov 2014, 21:33
- Última visita: 26-03-16
- Agradeceu: 48 vezes
- Agradeceram: 19 vezes
Nov 2014
18
20:28
Re: Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade
dá para explicar melhor esse início?sobre o discriminante invariante e sobre soma A+C ser invariante, obrigadosousóeu escreveu:o discriminante da cônica é:
[tex3]\Delta = B^2 - 4AC = (5\sqrt3)^2 - 4\cdot 1\cdot6 = 75 - 24 = 51[/tex3]
como o discriminante é invariante na rotação temos que:
[tex3]-4A'C' = 51[/tex3]
o próximo invariante é a soma [tex3]A + C = 1 + 6 = 7 =A' + C'[/tex3]
Logo [tex3]A'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] são raízes da equação:
[tex3]x^2 - 7x - \frac{51}{4} = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = 7^2 - 4\cdot -\frac{51}{4} = 49 + 51 = 100[/tex3]
[tex3]x = \frac{7\pm 10}{2}[/tex3]
logo:
[tex3]A' = \frac{17}{2}[/tex3]
[tex3]C' = -\frac{3}{2}[/tex3]
A cônica em questão é uma hipérbole da forma:
[tex3]\frac{17x'^2}{2} - \frac{3y'^2}{2} + k = 0[/tex3]
[tex3]k = -\frac{17x'^2}{2} + \frac{3y'^2}{2}[/tex3]
[tex3]1 = -\frac{17x'^2}{2k} + \frac{3y'^2}{2k}[/tex3]
de onde:
[tex3]b^2 = \frac{2k}{17}[/tex3]
[tex3]a^2 = \frac{2k}{3}[/tex3]
logo:
[tex3]c^2 = a^2 + b^2 = \frac{2k}{17} + \frac{2k}{3} = 2k(\frac{1}{17} + \frac{1}{3})[/tex3]
[tex3]c^2 = 2k \frac{20}{51} = \frac{40k}{51}[/tex3]
[tex3]e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{\frac{40k}{51}}{\frac{2k}{51}}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}[/tex3]
cheguei na letra E
Gostaria de aproveitar o comentário para te perguntar como você elimina os termos do primeiro grau de uma equação genérica do tipo
Ax² + Bxy + Cy² +Dx +Ey +F = 0
Editado pela última vez por caju em 22 Mai 2024, 09:43, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Nov 2014
18
21:04
Re: Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade
É assim: A equação normal de uma cônica ( reta, parábola, elipse ou hipérbole ) não tem o termo [tex3]xy[/tex3]
na equação, entretanto toda equação da forma:
[tex3]Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0[/tex3]
representa uma cônica, mesmo que degenerada a uma reta ou a um ponto.
A presença do termo [tex3]xy[/tex3] indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos [tex3]xy[/tex3] por exemplo, se for uma parábola, significa que o eixo dessa parábola não é paralelo nem ao eixo [tex3]x[/tex3] nem ao eixo [tex3]y[/tex3] . E para obtermos a equação normal da cônica (sem esse ter mo do [tex3]xy[/tex3] ) nós temos que girar os eixos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] em ordem de achar coordenadas em que a equação fique "normal".
As contas no entanto são deveras grandes pra eu provar que depois que girarmos os eixos e obtermos a nova equação:
[tex3]A'x'^2 + C'y'^2 + D'x + E'y + F = 0[/tex3]
(repare que o F é o mesmo no caso da ROTAÇÃO)
O discriminante que eu marquei ai em cima se mantem constante.
Nesse pdf aqui:
http://www.rumoaoita.com/site/attachmen ... ascap4.pdf
você vai ver todas as demonstrações feitas com calma, no final dele fala sobre o discriminante e a soma dos termos quadráticos.
[tex3]Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0[/tex3]
representa uma cônica, mesmo que degenerada a uma reta ou a um ponto.
A presença do termo [tex3]xy[/tex3] indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos [tex3]xy[/tex3] por exemplo, se for uma parábola, significa que o eixo dessa parábola não é paralelo nem ao eixo [tex3]x[/tex3] nem ao eixo [tex3]y[/tex3] . E para obtermos a equação normal da cônica (sem esse ter mo do [tex3]xy[/tex3] ) nós temos que girar os eixos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] em ordem de achar coordenadas em que a equação fique "normal".
As contas no entanto são deveras grandes pra eu provar que depois que girarmos os eixos e obtermos a nova equação:
[tex3]A'x'^2 + C'y'^2 + D'x + E'y + F = 0[/tex3]
(repare que o F é o mesmo no caso da ROTAÇÃO)
O discriminante que eu marquei ai em cima se mantem constante.
Nesse pdf aqui:
http://www.rumoaoita.com/site/attachmen ... ascap4.pdf
você vai ver todas as demonstrações feitas com calma, no final dele fala sobre o discriminante e a soma dos termos quadráticos.
Editado pela última vez por caju em 22 Mai 2024, 09:43, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
kiritoITA
- Mensagens: 126
- Registrado em: 15 Nov 2014, 21:33
- Última visita: 26-03-16
- Agradeceu: 48 vezes
- Agradeceram: 19 vezes
Nov 2014
18
21:10
Re: Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade
tem me ajudado muito no fórum man,não sabe o quanto!! obrigado de verdade, mas ainda não respondeu minha última pergunta: como tu faz para eliminar os termos de primeiro grau de uma cônica da forma genérica Ax² + Bxy .....sousóeu escreveu:É assim: A equação normal de uma cônica ( reta, parábola, elipse ou hipérbole ) não tem o termo [tex3]xy[/tex3] na equação, entretanto toda equação da forma:
[tex3]Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0[/tex3]
representa uma cônica, mesmo que degenerada a uma reta ou a um ponto.
A presença do termo [tex3]xy[/tex3] indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos [tex3]xy[/tex3] por exemplo, se for uma parábola, significa que o eixo dessa parábola não é paralelo nem ao eixo [tex3]x[/tex3] nem ao eixo [tex3]y[/tex3] . E para obtermos a equação normal da cônica (sem esse ter mo do [tex3]xy[/tex3] ) nós temos que girar os eixos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] em ordem de achar coordenadas em que a equação fique "normal".
As contas no entanto são deveras grandes pra eu provar que depois que girarmos os eixos e obtermos a nova equação:
[tex3]A'x'^2 + C'y'^2 + D'x + E'y + F = 0[/tex3]
(repare que o F é o mesmo no caso da ROTAÇÃO)
O discriminante que eu marquei ai em cima se mantem constante.
Nesse pdf aqui:
http://www.rumoaoita.com/site/attachmen ... ascap4.pdf
você vai ver todas as demonstrações feitas com calma, no final dele fala sobre o discriminante e a soma dos termos quadráticos.
obrigadãããão!!
Editado pela última vez por caju em 22 Mai 2024, 09:43, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Nov 2014
18
21:25
Re: Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade
Os de primeiro grau, são os que acompanham, o [tex3]x[/tex3] e o [tex3]y[/tex3] mas não acompanham o [tex3]xy[/tex3] , não tem eles no exercício, mas na apostila você pode ver que uma simples translação pode sumir com o [tex3]D[/tex3] e com o [tex3]E[/tex3]kiritoITA escreveu: tem me ajudado muito no fórum man,não sabe o quanto!! obrigado de verdade, mas ainda não respondeu minha última pergunta: como tu faz para eliminar os termos de primeiro grau de uma cônica da forma genérica Ax² + Bxy .....
obrigadãããão!!
só fazer:
[tex3]x' = x - a \rightarrow x = x' + a[/tex3]
[tex3]y' = y - b \rightarrow y = y' + b[/tex3]
e jogar na equação da cônica (acho que só funciona depois de você sumir com o termo do [tex3]xy[/tex3] )
de nada cara tamo aqui pra isso.
Por exemplo:
[tex3]y - x^2 - 2x + 5 = 0[/tex3]
fazendo:
[tex3]y - (x+1)^2 +6 =0[/tex3]
e chamando
[tex3]y' = y[/tex3]
[tex3]x' = x + 1[/tex3]
[tex3]y' - x'^2 + 6 = 0[/tex3]
então a equação:
[tex3]y - x^2 - 2x + 5 = 0[/tex3]
é essa parábola aqui:
[tex3]y' = x'^2 - 6[/tex3]
só que transladada de 1 unidade para a esquerda (sumiu o termo linear)
Editado pela última vez por caju em 22 Mai 2024, 09:44, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
kiritoITA
- Mensagens: 126
- Registrado em: 15 Nov 2014, 21:33
- Última visita: 26-03-16
- Agradeceu: 48 vezes
- Agradeceram: 19 vezes
Nov 2014
19
11:03
Re: Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade
cheguei à outra dúvida :sousóeu escreveu:o discriminante da cônica é:
[tex3]\Delta = B^2 - 4AC = (5\sqrt3)^2 - 4\cdot 1\cdot6 = 75 - 24 = 51[/tex3]
como o discriminante é invariante na rotação temos que:
[tex3]-4A'C' = 51[/tex3]
o próximo invariante é a soma [tex3]A + C = 1 + 6 = 7 =A' + C'[/tex3]
Logo [tex3]A'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] são raízes da equação:
[tex3]x^2 - 7x - \frac{51}{4} = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = 7^2 - 4\cdot -\frac{51}{4} = 49 + 51 = 100[/tex3]
[tex3]x = \frac{7\pm 10}{2}[/tex3]
logo:
[tex3]A' = \frac{17}{2}[/tex3]
[tex3]C' = -\frac{3}{2}[/tex3]
A cônica em questão é uma hipérbole da forma:
[tex3]\frac{17x'^2}{2} - \frac{3y'^2}{2} + k = 0[/tex3]
[tex3]k = -\frac{17x'^2}{2} + \frac{3y'^2}{2}[/tex3]
[tex3]1 = -\frac{17x'^2}{2k} + \frac{3y'^2}{2k}[/tex3]
de onde:
[tex3]b^2 = \frac{2k}{17}[/tex3]
[tex3]a^2 = \frac{2k}{3}[/tex3]
logo:
[tex3]c^2 = a^2 + b^2 = \frac{2k}{17} + \frac{2k}{3} = 2k(\frac{1}{17} + \frac{1}{3})[/tex3]
[tex3]c^2 = 2k \frac{20}{51} = \frac{40k}{51}[/tex3]
[tex3]e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{\frac{40k}{51}}{\frac{2k}{51}}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}[/tex3]
cheguei na letra E
por que é : [tex3]A' = \frac{17}{2}[/tex3]
[tex3]C' = -\frac{3}{2}[/tex3]
e não ao contrário? isto é :
por que não é [tex3]C' = \frac{17}{2}[/tex3]
[tex3]A' = -\frac{3}{2}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 22 Mai 2024, 09:44, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Nov 2014
19
11:31
Re: Geometria Analítica - Cônica - Excentricidade
tanto faz, as duas representam cônicas idênticas, só que rotacionadas. A excentricidade não mudaria em nada
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 1 Resp.
- 306 Exibições
-
Últ. msg por LucasDN684
-
- 1 Resp.
- 596 Exibições
-
Últ. msg por emanuel9393
-
- 1 Resp.
- 925 Exibições
-
Últ. msg por ASPIRADEDEU
-
- 8 Resp.
- 1415 Exibições
-
Últ. msg por Cardoso1979
