Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Parábola Tópico resolvido

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kiritoITA
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Nov 2014 18 09:44

Geometria Analítica - Parábola

Mensagem não lidapor kiritoITA » 18 Nov 2014, 09:44

Mensagem não lida por kiritoITA »

Considere a parábola [tex3]P:y^{2}=12x[/tex3] . A reta r tangencia P no ponto A(3,6) e a reta s tangencia P no ponto B [tex3](Xb,Yb)[/tex3] . Se r e s se encontram em [tex3]M(-2,Ym)[/tex3] , então [tex3]Xb + Yb[/tex3] vale:

A) [tex3]-3[/tex3]
B) [tex3]-\frac{8}{3}[/tex3]
C) [tex3]-\frac{7}{3}[/tex3]
D) [tex3]-2[/tex3]
E) NDA
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Auto Excluído (ID:12031)
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Nov 2014 18 16:13

Re: Geometria Analítica - Parábola

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:12031) » 18 Nov 2014, 16:13

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Existe uma propriedade das parábolas que é assim:

"Se a reta T tangencia a parábola ([tex3]y = ax^2 + bx+c[/tex3] ) num ponto de abscissa [tex3]x_T[/tex3] e a reta T' tangencia a parábola em um ponto de abscissa [tex3]x_{T'}[/tex3] então o encontro dessas tangentes ocorre num ponto de abscissa [tex3]\frac{X_T + x_{T'}}{2}[/tex3] e ordenada [tex3]ax_Tx_{T'}[/tex3] "

Pra provar isso precisa de derivadas ou fazer muita conta...mas tem na wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola#T ... tus_rectum
No caso a parábola está deitada então vamos usar a seguinte transformação de coordenadas pra podermos aproveitar esse teorema:

[tex3]y' = x[/tex3]
[tex3]x' = -y[/tex3]
[tex3]x'^2 = 12y'\rightarrow y' = \frac{x'^2}{12}[/tex3]
os pontos que vamos usar não são mais [tex3](3,6);(X_b,Y_b);(-2;Y_m)[/tex3] mas sim [tex3](-6,3);(-Y_b,X_b);(-Y_m,-2)[/tex3]

O ponto de encontro das retas tangentes nesse sistema de coordenadas é : [tex3](-Y_m,-2)[/tex3]
usando o teorema:
[tex3]-2 = ax_Tx_{T'} \rightarrow -2 = \frac{1}{12}\cdot -Y_b \cdot -6 \rightarrow Y_b = -4[/tex3]
como o ponto [tex3]B[/tex3] está na parábola:
[tex3](-4)^2 = 12X_b \rightarrow X_b = \frac{4}{3}[/tex3]
logo a soma: [tex3]X_b + Y_b = \frac{4}{3}+(-4) = -\frac{8}{3}[/tex3]
letra B.
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kiritoITA
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Nov 2014 18 21:07

Re: Geometria Analítica - Parábola

Mensagem não lidapor kiritoITA » 18 Nov 2014, 21:07

Mensagem não lida por kiritoITA »

sousóeu escreveu:Existe uma propriedade das parábolas que é assim:

"Se a reta T tangencia a parábola ([tex3]y = ax^2 + bx+c[/tex3] ) num ponto de abscissa [tex3]x_T[/tex3] e a reta T' tangencia a parábola em um ponto de abscissa [tex3]x_{T'}[/tex3] então o encontro dessas tangentes ocorre num ponto de abscissa [tex3]\frac{X_T + x_{T'}}{2}[/tex3] e ordenada [tex3]ax_Tx_{T'}[/tex3] "

Pra provar isso precisa de derivadas ou fazer muita conta...mas tem na wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola#T ... tus_rectum
No caso a parábola está deitada então vamos usar a seguinte transformação de coordenadas pra podermos aproveitar esse teorema:

[tex3]y' = x[/tex3]
[tex3]x' = -y[/tex3]
[tex3]x'^2 = 12y'\rightarrow y' = \frac{x'^2}{12}[/tex3]
os pontos que vamos usar não são mais [tex3](3,6);(X_b,Y_b);(-2;Y_m)[/tex3] mas sim [tex3](-6,3);(-Y_b,X_b);(-Y_m,-2)[/tex3]

O ponto de encontro das retas tangentes nesse sistema de coordenadas é : [tex3](-Y_m,-2)[/tex3]
usando o teorema:
[tex3]-2 = ax_Tx_{T'} \rightarrow -2 = \frac{1}{12}\cdot -Y_b \cdot -6 \rightarrow Y_b = -4[/tex3]
como o ponto [tex3]B[/tex3] está na parábola:
[tex3](-4)^2 = 12X_b \rightarrow X_b = \frac{4}{3}[/tex3]
logo a soma: [tex3]X_b + Y_b = \frac{4}{3}+(-4) = -\frac{8}{3}[/tex3]
letra B.
tenho certo conhecimento em cálculo diferencial, quando puder resolver das duas formas os problemas que posto sinta-se à vontade para apresentar os dois lados da moeda, assim eu expando meu alcance . Obrigado,desde já.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Nov 2014 18 22:03

Re: Geometria Analítica - Parábola

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:12031) » 18 Nov 2014, 22:03

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

kiritoITA escreveu: tenho certo conhecimento em cálculo diferencial, quando puder resolver das duas formas os problemas que posto sinta-se à vontade para apresentar os dois lados da moeda, assim eu expando meu alcance . Obrigado,desde já.
Ok, a prova é assim, vamos pegar uma parábola da forma:

[tex3]y =ax^2 + bx + c[/tex3]

vamos fazer a seguinte translação:

[tex3]x' = x + \frac{b}{2a} \rightarrow x = x' - \frac{b}{2a}[/tex3]
[tex3]y' = y + \frac{\Delta}{4a} \rightarrow y = y' - \frac{\Delta }{4a}[/tex3]

a equação fica:

[tex3]y = y' - \frac{\Delta }{4a} = a(x' - \frac{b}{2a})^2 + b(x' - \frac{b}{2a}) + c[/tex3]
[tex3]y' - \frac{\Delta }{4a} = a(x'^2 - x'\frac{b}{a} + \frac{b^2}{4a^2}) + b(x' - \frac{b}{2a}) + c[/tex3]
[tex3]y' - \frac{\Delta }{4a} = ax'^2 - x'b + \frac{b^2}{4a} + bx' - \frac{b^2}{2a} + c[/tex3]
[tex3]y' - \frac{\Delta }{4a} = ax'^2 + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c[/tex3]
[tex3]y' - \frac{\Delta }{4a} = ax'^2 - \frac{b^2}{4a} + c[/tex3]
[tex3]y' - \frac{\Delta }{4a} = ax'^2 - (\frac{b^2-4ac}{4a}) = ax'^2 - \frac{\Delta }{4a}[/tex3]
[tex3]y' = ax'^2[/tex3]

ou seja, só mostrei que qualquer parábola da forma: [tex3]y = ax^2 + bx + c[/tex3] pode ser transformada na forma [tex3]y=ax^2[/tex3] com uma simples translação dos eixos, só colocar a nova origem do sistema cartesiano sobre o vértice da parábola. Então pra provar esse teorema eu vou usar uma parábola da forma [tex3]y = ax^2[/tex3] , mas entenda que isso não restringe a demonstração, qualquer parábola da forma [tex3]ax^2 + bx + c[/tex3] pode ser encarada como uma parábola [tex3]y =ax^2[/tex3] deslocada.

a prova é assim:
Seja a parábola [tex3]y=ax^2[/tex3] , vamos tomar dois pontos distintos da parábola: [tex3]P=(p,ap^2)[/tex3] e [tex3]Q=(q,aq^2)[/tex3] . Você precisa saber que o coeficiente angular da reta tangente à parábola pelo ponto [tex3](p,ap^2)[/tex3] é a derivada da função [tex3]y(x) = ax^2[/tex3] no ponto [tex3]p[/tex3] a derivada de [tex3]y(x) = ax^2[/tex3] é: [tex3]y'(x) = 2ax[/tex3] aplicando-a no ponto [tex3]P[/tex3] : [tex3]y'(p) = 2ap[/tex3] e em [tex3]Q[/tex3] : [tex3]y'(q) = 2aq[/tex3] .
Logo a equação das retas tangentes à parábola pelos pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são, respectivamente:

[tex3]P: y - y_p = m(x - x_p) \rightarrow y - ap^2 = 2ap(x- p)[/tex3]
[tex3]Q: y - aq^2 = 2aq(x-q)[/tex3]

para achar o encontro das duas retas tangentes multiplicamos a equação de [tex3]P[/tex3] por [tex3]-1[/tex3] e somamo-as com a equação de [tex3]Q[/tex3] isso vai dar o [tex3]x[/tex3] do ponto de encontro de [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] :

[tex3]\begin{cases}
-y + ap^2 = 2ap(p-x) \\
y - aq^2 = 2aq(x-q)
\end{cases} \rightarrow ap^2 - aq^2 = 2a(p^2 - xp+xq - q^2)[/tex3]

[tex3]ap^2 - aq^2 = 2a(p^2 - xp+xq - q^2)[/tex3]
Se [tex3]a[/tex3] fosse zero, não teríamos parábola, então como [tex3]a[/tex3] é diferente de zero a gente corta ele dos dois lados:
[tex3]p^2 - q^2 = 2p^2 - 2q^2 +2x(q-p)[/tex3]
[tex3]q^2 - p^2 = 2x(q-p)[/tex3]
[tex3](q-p)(q+p) = 2x(q-p)[/tex3]
como [tex3]q\neq p[/tex3] senão só teríamos uma reta tangente, então podemos cortar o termo [tex3]q-p[/tex3]
[tex3]x = \frac{p+q}{2}[/tex3]
ou seja o [tex3]x[/tex3] do ponto de encontro das tangentes é a média aritmética das abscissas dos pontos a partir dos quais traçam-se as tangentes. (Isso é válido pra qualquer parábola da forma [tex3]ax^2+bx+c[/tex3] )
para achar o [tex3]y[/tex3] é só jogar em uma das equações da reta:
[tex3]y - aq^2 = 2aq(x-q) = 2aq(\frac{p+q}{2}-q) = aq(p+q -2q) = aqp - aq^2[/tex3]
[tex3]y = aqp[/tex3] (essa só vale pra parábolas do tipo ax^2)

Pra generalizar pra uma parábola do tipo [tex3]ax^2+bx+c[/tex3] é só transladar os eixos:
[tex3]y' = aqp = y + \frac{\Delta}{4a} \rightarrow y = aqp - \frac{\Delta}{4a}[/tex3]
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