Pré-Vestibular ⇒ (PUC SP) Permutação

[Valdilenex]

Três irmãos – X, Y e Z – sentam-se em torno de uma mesa circular para dividir entre si o total de 666 moedas que economizaram ao longo de certo ano. Para tal, adotaram o seguinte critério: inicialmente, X receberá 1 moeda, Y receberá 2 moedas e Z receberá 3 moedas; em seguida, X receberá 4 moedas, Y receberá 5 e Z receberá 6; logo após, X receberá 7 moedas, Y receberá 8 e Z receberá 9; e, assim, sucessivamente, até que todas as moedas sejam distribuídas. Nessas condições, é correto afirmar que

(A) Z ficará com 244 moedas.
(B) Yficará com 15 moedas a menos do que Z.
(C) X ficará com 210 moedas. correta
(D) Yficará com 14 moedas a mais do que X.
(E) cada um dos três ficará com mais de 212 moedas.

[paulo testoni]

Hola.

Foram distribuídas 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n moedas. Qual deve ser o valor de n para que essa soma fique o mais próxima possível de 666, Então:

[tex3]\frac {n*(n+1)}{2}=666\\
n^2 + n - 1332=0\\
n = 36[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {n*(n+1)}{2}=666\\
n^2 + n - 1332=0\\
n = 36[/tex3]

x é da forma 3K + 1, pois recebe {1, 4, 7, 10, ..., n} moedas. Logo x receberá: 1 + 4 + 7 + ...+ 34
y é da forma 3k + 2, pois recebe {2, 5, 8, 11, ..., n} moedas. Logo y receberá: 2 + 3 + 5 + ... + 35
z é da forma 3k, pois recebe {3, 6, 9, 12, ...,n} moedas. Logo z receberá: 3 + 6 + 9 + ... + 36

x recebe:
S = (1 + 34)*12/2
S = 35*6
S = 210

[Valdilenex]

Da onde veio o 12 da soma?

[paulo testoni]

Hola.

Da onde veio o 12 da soma?

veio daqui: 1 + 4 + 7 + ...+ 34
a_1 = 1
a_n = 34
r = 4 - 1 = 3, logo:

a_n = a_1 + (n - 1)*r
34 = 1 + (n - 1) *3
34 = 1 + 3n - 3
3n = 36
n = 36/3
n = 12