Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **ivan** » 19 Out 2014, 12:13 · Mensagem não lida por **ivan** » 19 Out 2014, 12:13

Calcule o perímetro de um hexágono regular cuja a diagonal mede 12 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .

Resposta

l = 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

2p = 24 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 20 Out 2014, 09:05 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 20 Out 2014, 09:05

Ivan,

Trata-se da diagonal maior ou menor do hexágono? De qualquer forma, o gabarito não bate em nenhum dos casos.

1) Considerando a diagonal menor

Todos os ângulos internos de um hexágono regular medem $\frac{180^\circ\cdot(6-2)}{6}=120^\circ$

: Untitled.png (9.38 KiB) Exibido 506 vezes

Pela Lei dos Cossenos,

$d^2=l^2+l^2-2\cdot l\cdot l\cdot\cos120^\circ$
$d^2=2l^2-2l^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$
$l=\frac{d\sqrt{3}}{3}$

Logo,

$l=\frac{12\sqrt{3}\sqrt{3}}{3}=12\rightarrow 2p=6\cdot12=72$

2) Considerando a diagonal maior

A diagonal divide o hexágono em dois trapézios isósceles e, portanto,

$FG=\frac{d-l}{2}$

: Untitled1.png (17.57 KiB) Exibido 506 vezes

Por Pitágoras,

$l^2=\left(\frac{d-l}{2}\right)^2+h^2$

E, pela Trigonometria, temos que,

$h=l\cdot\cos60^\circ=\frac{l\sqrt{3}}{2}$

Logo,

$l^2=\left(\frac{d-l}{2}\right)^2+\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2\rightarrow l=\frac{d}{2}$

E, então,

$l=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\rightarrow 2p=36\sqrt{3}$

Mensagem não lidapor **ivan** » 20 Out 2014, 20:34 · Mensagem não lida por **ivan** » 20 Out 2014, 20:34

Ok minha dúvida era essa mesma, pois o gabarito não batia com o meu.

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