Ensino FundamentalPolígonos regulares

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ivan
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Out 2014 19 12:13

Polígonos regulares

Mensagem não lida por ivan »

Calcule o perímetro de um hexágono regular cuja a diagonal mede 12 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .



Resposta

l = 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
Resposta

2p = 24 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Editado pela última vez por ivan em 19 Out 2014, 12:13, em um total de 1 vez.
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csmarcelo
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Out 2014 20 09:05

Re: Polígonos regulares

Mensagem não lida por csmarcelo »

Ivan,

Trata-se da diagonal maior ou menor do hexágono? De qualquer forma, o gabarito não bate em nenhum dos casos.

1) Considerando a diagonal menor

Todos os ângulos internos de um hexágono regular medem \frac{180^\circ\cdot(6-2)}{6}=120^\circ
Untitled.png
Untitled.png (9.38 KiB) Exibido 506 vezes
Pela Lei dos Cossenos,

d^2=l^2+l^2-2\cdot l\cdot l\cdot\cos120^\circ
d^2=2l^2-2l^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)
l=\frac{d\sqrt{3}}{3}

Logo,

l=\frac{12\sqrt{3}\sqrt{3}}{3}=12\rightarrow 2p=6\cdot12=72

2) Considerando a diagonal maior

A diagonal divide o hexágono em dois trapézios isósceles e, portanto,

FG=\frac{d-l}{2}
Untitled1.png
Untitled1.png (17.57 KiB) Exibido 506 vezes
Por Pitágoras,

l^2=\left(\frac{d-l}{2}\right)^2+h^2

E, pela Trigonometria, temos que,

h=l\cdot\cos60^\circ=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Logo,

l^2=\left(\frac{d-l}{2}\right)^2+\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2\rightarrow l=\frac{d}{2}

E, então,

l=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\rightarrow 2p=36\sqrt{3}

Editado pela última vez por csmarcelo em 20 Out 2014, 09:05, em um total de 1 vez.
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ivan
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Out 2014 20 20:34

Re: Polígonos regulares

Mensagem não lida por ivan »

Ok minha dúvida era essa mesma, pois o gabarito não batia com o meu.

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