Pré-Vestibular(UEPG - 2014) Função Composta Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.
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FabioKatsuo
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Out 2014 10 18:17

(UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por FabioKatsuo »

Considerando as funções [tex3]f(x)[/tex3] e [tex3]g(x)[/tex3] , tais que [tex3]f(x) =\frac{X+3}{4}[/tex3] e [tex3]f(g(x))=\frac{5x}{4x+4}[/tex3] assinale o que for correto.

01) O domínio de [tex3]g(x)[/tex3] é [tex3]\{x \in R\,|\,x \ne -1\}[/tex3] .
02) [tex3]g^{-1}(0)=\frac{3}{2}[/tex3]
04) [tex3]g(1)= -\frac{1}{2}[/tex3]
08) [tex3]g(f(5))= \frac{1}{3}[/tex3]
16) O domínio de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]\{x \in R\,|\,x \ne -3\}[/tex3] .
Resposta

soma:15

Editado pela última vez por caju em 08 Nov 2019, 11:31, em um total de 3 vezes.
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Re: (UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por gabemreis »

Dadas as funções: [tex3]f(x)=\frac{x+3}{4}[/tex3] e [tex3]f(g(x))=\frac{5x}{4x+4}[/tex3] ,

Na primeira função: [tex3]f(x)=\frac{x+3}{4}[/tex3] , no lugar de x colocamos g(x), e obtemos:

[tex3]f(g(x))=\frac{g(x)+3}{4}[/tex3] e substituímos [tex3]f(g(x))=\frac{5x}{4x+4}[/tex3] , obtendo a relação:

[tex3]\frac{5x}{4x+4} = \frac{g(x)+3}{4}[/tex3] , multiplicamos em cruz e obtemos:

[tex3](4x+4)(g(x)+3)=20x[/tex3] , fazendo a distributiva:
[tex3]4xg(x)+12x+4g(x)+12=20x[/tex3]
[tex3]g(x)(4x+4)=8x-12[/tex3] , portanto:
[tex3]g(x)=\frac{8x-12}{4x+4}[/tex3] , ou seja:
[tex3]\color{blue}g(x)=\frac{2x-3}{x+1}[/tex3]

01) O domínio de g(x): o denominador não pode ser zero, portanto:
[tex3]x+1\neq0[/tex3] , assim:
[tex3]\color{purple}x\neq-1[/tex3]

02) Aqui temos um probleminha de função inversa. O que fazemos? Iguale f(x) a y:
[tex3]y=\frac{2x-3}{x+1}[/tex3] , agora você substitui os [tex3]\color{blue}x[/tex3] por [tex3]\color{red}y[/tex3] , e vice-versa:
[tex3]x=\frac{2y-3}{y+1}[/tex3] , multiplicando em cruz:
[tex3]yx+x=2y-3[/tex3] , passando o y para o lado esquerdo e simplicando, temos:
[tex3]y(x-2)=-x-3[/tex3] , portanto, substituindo y por g(x), vem:
[tex3]g^-1(x)=\frac{-x-3}{x-2}[/tex3] , então
[tex3]\color{green}g^{-1}(0) = \frac{3}{2}[/tex3]

04) [tex3]g(1)=\frac{2-3}{1+1}[/tex3] , portanto,
[tex3]\color{red}g(1)=\frac{-1}{2}[/tex3]

08) [tex3]f(5)=\frac{8}{4}=2[/tex3] , assim:
[tex3]g(2)=\frac{4-3}{2+1}[/tex3] , portanto:
[tex3]\color{blue}g(2)=\frac{1}{3}[/tex3]

16) A função f(x) não apresenta nenhum domínio específico

Espero ter ajudado! =D

Editado pela última vez por caju em 08 Nov 2019, 11:31, em um total de 2 vezes.
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FabioKatsuo
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Re: (UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por FabioKatsuo »

Ajudo muito, obrigado pela atenção!!
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Re: (UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por FabioKatsuo »

Olá gabemreis você achou o exercício fácil, médio ou difícil?
So por curiosidade.
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Re: (UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por gabemreis »

Fico feliz em ter ajudado! =D
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Re: (UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por gabemreis »

FabioKatsuo escreveu:Olá gabemreis você achou o exercício fácil, médio ou difícil?
So por curiosidade.
Olha, eu já fiz muitos exercícios de função composta, então para mim foi fácil. Contudo, como envolve conceitos de função inversa, que não são muito abordados no Ensino Médio, além da manipulação das funções, eu o consideraria difícil.
Editado pela última vez por gabemreis em 10 Out 2014, 23:02, em um total de 1 vez.
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Re: (UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por FabioKatsuo »

Você está na universidade ou no ensino médio?
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Re: (UEPG - 2014) Função Composta

Mensagem não lida por gabemreis »

FabioKatsuo escreveu:Você está na universidade ou no ensino médio?
Estou no terceiro ano do Ensino Médio! Meus vestibulares já estão chegando, a ansiedade já está batendo, haha. Também tenho 17!

Editado pela última vez por gabemreis em 11 Out 2014, 07:20, em um total de 1 vez.
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