Pré-Vestibular ⇒ (EBMSP - 2014.1) Polinômio

[jreboucas]

QUESTÃO 4 Com a explosão dos smartphones, cerca de 10% dos brasileiros já são viciados digitais a ponto de não ficarem sem o aparelho e não pensarem em outra coisa. M é uma dessas pessoas que, ávida por novidades, está sempre de olho nos novos modelos lançados, sendo o tempo médio t, em anos, que ela leva para fazer a troca do aparelho em uso por um modelo mais avançado pode ser estimado pela soma das raízes do polinômio P(x) = 2x4 + mx3 – 7x2 + 12x + n, em que m e n são constantes reais.

Sabendo-se que P(x) é divisível por Q(x) = x2 – 3x + 2, pode-se afirmar que t é igual a:

1) 1 ano.
2) 1 ano e 3 meses.
3) 1 ano e 6 meses.
4) 1 ano e 9 meses.
5) 2 anos.

[mateusITA]

Olá, Jreboucas.
Como t é igual a soma das raízes, pela Relação de Girard, temos:

t = [tex3]\frac{(-1)^{1}.m}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(-1)^{1}.m}{2}[/tex3]

= -[tex3]\frac{m}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{2}[/tex3]

Como P(x) é divisível por Q(x), então as raízes de Q(x) também são raízes de P(x), logo 1 e 2 são raízes de P(x). Assim:

2.[tex3]1^{4} + 1^{3}[/tex3]

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[tex3]1^{4} + 1^{3}[/tex3]

.m - 7.[tex3]1^{2}[/tex3]

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[tex3]1^{2}[/tex3]

+ 12.1 + n = 0
m + n = -7 (I)

2.[tex3]2^{4} + 2^{3}[/tex3]

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[tex3]2^{4} + 2^{3}[/tex3]

.m - 7.[tex3]2^{2}[/tex3]

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[tex3]2^{2}[/tex3]

+ 12.1 + n = 0
8m + n = -28 (II)

Fazendo (II) - (I):
m = -3

Então, t = -[tex3]\frac{(-3)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(-3)}{2}[/tex3]

= 1,5 (1 ano e 6 meses)

[jreboucas]

Olá, Jreboucas.
Como t é igual a soma das raízes, pela Relação de Girard, temos:

t = [tex3]\frac{(-1)^{1}.m}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(-1)^{1}.m}{2}[/tex3]

= -[tex3]\frac{m}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{2}[/tex3]

Como P(x) é divisível por Q(x), então as raízes de Q(x) também são raízes de P(x), logo 1 e 2 são raízes de P(x). Assim:

2.[tex3]1^{4} + 1^{3}[/tex3]

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[tex3]1^{4} + 1^{3}[/tex3]

.m - 7.[tex3]1^{2}[/tex3]

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[tex3]1^{2}[/tex3]

+ 12.1 + n = 0
m + n = -7 (I)

2.[tex3]2^{4} + 2^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{4} + 2^{3}[/tex3]

.m - 7.[tex3]2^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{2}[/tex3]

+ 12.1 + n = 0
8m + n = -28 (II)

Fazendo (II) - (I):
m = -3

Então, t = -[tex3]\frac{(-3)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{(-3)}{2}[/tex3]

= 1,5 (1 ano e 6 meses)

Obrigado pela resposta !!