Ensino Médio

Mensagem não lidapor **marguiene** » 17 Set 2014, 09:55 · Mensagem não lida por **marguiene** » 17 Set 2014, 09:55

Resolva, em [tex3]\mathbb{R}[/tex3] , a equação exponencial:

[tex3](7 + 4\sqrt{3)}^{x} - 3 \cdot (2 - \sqrt{3})^{x} + 2 = 0[/tex3]

Inicialmente perceba que:
$\left(2+\sqrt3\right)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3$

$\left(7+4\sqrt3\right)^x-3\cdot \left(2-\sqrt3\right)^x+2=0$

$\left[\left(2+\sqrt3\right)^2\right]^x-3\cdot \left(2-\sqrt3\right)^x+2=0$

Note ainda que:
$2+\sqrt3=\left(2+\sqrt3\right) \cdot \frac{\left(2-\sqrt3\right)}{\left(2-\sqrt3\right)}=\frac{1}{2-\sqrt3}$

Então:
$\left[\left(\frac{1}{2-\sqrt3}\right)^2\right]^x-3\cdot \left(2-\sqrt3\right)^x+2=0$
$\left[\left(\frac{1}{2-\sqrt3}\right)^x\right]^2-3\cdot \left(2-\sqrt3\right)^x+2=0$

Chamando $\left(\frac{1}{2-\sqrt3}\right)^x=a$ , ficamos:

$a^2-\frac{3}{a}+2=0$
$a^3+2a-3=0$
$(a-1)(a^2+a+3)=0$

A única raiz real é $a=1$
$\left(\frac{1}{2-\sqrt3}\right)^x=a$
$\left(\frac{1}{2-\sqrt3}\right)^x=1$
$x=0$

$V=\left\{0\right\}$

Espero ter ajudado!

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