Ensino Superior ⇒ Integração Dupla - Áreas Tópico resolvido

[carlosa]

Calcula a área finita limitada pelo par de curvas:[tex3]y^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^{2}[/tex3]

=4x e 2x-y=4.

[candre]

temos

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[tex3]y^2=4x[/tex3]

e

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[tex3]2x-y=4[/tex3]

, tendo:

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[tex3]y^2=4x\Rightarrow{\color{red}x=\frac{y^2}{4}}[/tex3]

e

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[tex3]2x-y=4\Rightarrow{\color{blue}x=\frac{y}{2}+2}[/tex3]

criando a figura:

figura

imz.png (9.67 KiB) Exibido 491 vezes

achando as intersecções:

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[tex3]\begin{cases}x=\frac{y^2}{4}\\x=\frac{y}{2}+2\end{cases}\Rightarrow\frac{y^2}{4}=\frac{y}{2}+2\Rightarrow y^2=2y+8\\
y^2-2y-8=0\\
\triangle=4+32=36\\
y=\frac{2\pm6}{2}\\
y_1=\frac{2-6}{2}=-\frac{4}{2}=-2\\
y_2=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\\
y=-2\Rightarrow x=1\Rightarrow B=(1,-2)\\
y=4\Rightarrow x=4\Rightarrow A=(4,4)[/tex3]

para

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[tex3]y\in[-2|4][/tex3]

a figura varia de

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[tex3]\frac{y^2}{4}[/tex3]

a

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[tex3]\frac{y}{2}+2[/tex3]

, podemos então calcular área da figura através de:

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[tex3]A=
{\color{blue}\int_{-2}^{4}\int_{\frac{y^2}{4}}^{\frac{y}{2}+2}dxdy=}\\
\int_{-2}^4\left(\frac{y}{2}+2\right)-\left(\frac{y^2}{4}\right)dy=\\
\int_{-2}^4-\frac{y^2}{4}+\frac{y}{2}+2dy=\\
-\frac{1}{4}\int_{-2}^4y^2dy+\frac{1}{2}\int_{-2}^4ydy+2\int_{-2}^4dy=\\
-\frac{1}{4}\frac{y^3}{3}\bigg|_{-2}^4+\frac{1}{2}\frac{y^2}{2}\bigg|_{-2}^4+2y\bigg|_{-2}^4=\\
-\frac{1}{4}\left[\frac{4^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{4^2}{2}-\frac{(-2)^2}{2}\right]+2[4-(-2)]=\\
-\frac{1}{4}\left[\frac{64}{3}-\frac{-8}{3}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{16}{2}-\frac{4}{2}\right]+2(4+2)=\\
-\frac{1}{4}\left[\frac{64}{3}+\frac{8}{3}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{16}{2}-\frac{4}{2}\right]+2\cdot6=\\
-\frac{1}{4}\frac{64+8}{3}+\frac{1}{2}\frac{16-4}{2}+12=\\
-\frac{1}{4}\frac{72}{3}+\frac{1}{2}\frac{12}{2}+12=\\
-\frac{24}{4}+\frac{12}{4}+12=\frac{-24+12}{4}+12=12-\frac{12}{4}=12-3=9[/tex3]

portanto a figura tem

Código: Selecionar tudo

[tex3]9[/tex3]

unidades de área.