Ensino SuperiorIntegração Dupla - Áreas Tópico resolvido

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carlosa
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Jun 2014 16 20:40

Integração Dupla - Áreas

Mensagem não lida por carlosa »

Calcula a área finita limitada pelo par de curvas:[tex3]y^{2}[/tex3] =4x e 2x-y=4.

Editado pela última vez por carlosa em 16 Jun 2014, 20:40, em um total de 1 vez.
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candre
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Re: Integração Dupla - Áreas

Mensagem não lida por candre »

temos y^2=4x e 2x-y=4, tendo:
y^2=4x\Rightarrow{\color{red}x=\frac{y^2}{4}}
e
2x-y=4\Rightarrow{\color{blue}x=\frac{y}{2}+2}
criando a figura:
figura
figura
imz.png (9.67 KiB) Exibido 490 vezes
achando as intersecções:
\begin{cases}x=\frac{y^2}{4}\\x=\frac{y}{2}+2\end{cases}\Rightarrow\frac{y^2}{4}=\frac{y}{2}+2\Rightarrow y^2=2y+8\\
y^2-2y-8=0\\
\triangle=4+32=36\\
y=\frac{2\pm6}{2}\\
y_1=\frac{2-6}{2}=-\frac{4}{2}=-2\\
y_2=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\\
y=-2\Rightarrow x=1\Rightarrow B=(1,-2)\\
y=4\Rightarrow x=4\Rightarrow A=(4,4)
para y\in[-2|4] a figura varia de \frac{y^2}{4} a \frac{y}{2}+2, podemos então calcular área da figura através de:
A=
{\color{blue}\int_{-2}^{4}\int_{\frac{y^2}{4}}^{\frac{y}{2}+2}dxdy=}\\
\int_{-2}^4\left(\frac{y}{2}+2\right)-\left(\frac{y^2}{4}\right)dy=\\
\int_{-2}^4-\frac{y^2}{4}+\frac{y}{2}+2dy=\\
-\frac{1}{4}\int_{-2}^4y^2dy+\frac{1}{2}\int_{-2}^4ydy+2\int_{-2}^4dy=\\
-\frac{1}{4}\frac{y^3}{3}\bigg|_{-2}^4+\frac{1}{2}\frac{y^2}{2}\bigg|_{-2}^4+2y\bigg|_{-2}^4=\\
-\frac{1}{4}\left[\frac{4^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{4^2}{2}-\frac{(-2)^2}{2}\right]+2[4-(-2)]=\\
-\frac{1}{4}\left[\frac{64}{3}-\frac{-8}{3}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{16}{2}-\frac{4}{2}\right]+2(4+2)=\\
-\frac{1}{4}\left[\frac{64}{3}+\frac{8}{3}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{16}{2}-\frac{4}{2}\right]+2\cdot6=\\
-\frac{1}{4}\frac{64+8}{3}+\frac{1}{2}\frac{16-4}{2}+12=\\
-\frac{1}{4}\frac{72}{3}+\frac{1}{2}\frac{12}{2}+12=\\
-\frac{24}{4}+\frac{12}{4}+12=\frac{-24+12}{4}+12=12-\frac{12}{4}=12-3=9
portanto a figura tem 9 unidades de área.

Editado pela última vez por candre em 29 Jun 2014, 18:18, em um total de 1 vez.
a vida e uma caixinha de surpresas.
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