Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Projeção de reta sobre plano Tópico resolvido
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Jun 2014
28
11:22
Geometria Analítica - Projeção de reta sobre plano
Determine a projeção ortogonal da reta
sobre o plano
.
Editado pela última vez por ilprofeta em 28 Jun 2014, 11:22, em um total de 1 vez.
- Juniorhw
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Jul 2014
03
00:30
Re: Geometria Analítica - Projeção de reta sobre plano
Primeiro vamos saber a posição relativa da reta ao plano:
O produto escalar
, onde
é o vetor normal ao plano e
é o vetor diretor da reta, é diferente de zero, logo a reta não é paralela ao plano, e como
não é colinear ao
, a reta não é ortogonal ao plano, então a reta é secante e não ortogonal ao plano e a projeção dela sobre o plano é uma reta. Para achar essa reta podemos encontrar o plano que contém a reta e cujo vetor normal desse plano é ortogonal ao vetor normal do plano dado, e então fazer a intersecção entre esses planos. Além disso, o vetor normal do plano que contém a reta é ortogonal ao vetor diretor da reta. Então um vetor normal desse plano que contém a reta pode ser dado pelo produto vetorial
:
![\vec{n_1}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&2\\1&1&\frac{1}{3}\end{vmatrix}=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3},2\right) \vec{n_1}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&2\\1&1&\frac{1}{3}\end{vmatrix}=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3},2\right)](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?\vec{n_1}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&2\\1&1&\frac{1}{3}\end{vmatrix}=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3},2\right))
Como esse plano passa por
, que é um ponto da reta, a equação do plano que contém a reta então é:
![-\frac{7}{3}(x+1)+\frac{5}{3}(y+2)+2(z-1)=0\\\\7x-5y-6z+3=0 -\frac{7}{3}(x+1)+\frac{5}{3}(y+2)+2(z-1)=0\\\\7x-5y-6z+3=0](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?-\frac{7}{3}(x+1)+\frac{5}{3}(y+2)+2(z-1)=0\\\\7x-5y-6z+3=0)
Basta agora fazer a intersecção com
:
![\begin{Bmatrix}7x-5y-6z+3=0\\x - y + 2z = 0\end{matrix}\\\\7(y-2z)-5y-6z+3=0\Rightarrow z=\frac{2y-3}{20}\\\\x-\frac{20z+3}{2}+2z=0\Rightarrow z=\frac{2x-3}{16} \begin{Bmatrix}7x-5y-6z+3=0\\x - y + 2z = 0\end{matrix}\\\\7(y-2z)-5y-6z+3=0\Rightarrow z=\frac{2y-3}{20}\\\\x-\frac{20z+3}{2}+2z=0\Rightarrow z=\frac{2x-3}{16}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?\begin{Bmatrix}7x-5y-6z+3=0\\x - y + 2z = 0\end{matrix}\\\\7(y-2z)-5y-6z+3=0\Rightarrow z=\frac{2y-3}{20}\\\\x-\frac{20z+3}{2}+2z=0\Rightarrow z=\frac{2x-3}{16})
Então a equação da reta projeção é:
![\boxed{\frac{2x-3}{16}=\frac{2y-3}{20}=z} \boxed{\frac{2x-3}{16}=\frac{2y-3}{20}=z}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?\boxed{\frac{2x-3}{16}=\frac{2y-3}{20}=z})
Espero que seja isso,
Abraço.
O produto escalar
Como esse plano passa por
Basta agora fazer a intersecção com
Então a equação da reta projeção é:
Espero que seja isso,
Abraço.
Editado pela última vez por Juniorhw em 03 Jul 2014, 00:30, em um total de 1 vez.
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