Sejam [tex3]r_{1}=3[/tex3]
e [tex3]r_{n}=r_{n-1}^{2}-2[/tex3]
, [tex3]\forall n \ge2[/tex3]
. Se [tex3]s_{n}=r_{n}-2[/tex3]
para [tex3]n \ge 1[/tex3]
, prove que [tex3]s_{j}[/tex3]
tem, no mínimo, [tex3]2.3^{j-2}[/tex3]
divisores positivos, [tex3]j \ge 2[/tex3]
.
Eu gostaria também que vocês me indicassem algum material bom e gratuito, especialmente em pdf e de caráter introdutório, pelo qual eu aprenderei a resolver problemas que envolvam sequências, como o problema acima, recorrências e produtos e somas telescópicas. Desde já, muito obrigado!!!
Olimpíadas ⇒ Sequência Recorrente
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Cláudio02
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Jun 2014
18
13:51
Sequência Recorrente
Editado pela última vez por Cláudio02 em 18 Jun 2014, 13:51, em um total de 1 vez.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Jun 2014
18
17:39
Re: Sequência Recorrente
Não consegui resolver, mas acho que isso pode ajudar alguém a conseguir:
[tex3]r_{n}=r_{n-1}^{2}-2[/tex3]
[tex3]r_{n}- 2=r_{n-1}^{2}-4[/tex3]
[tex3]s_{n}=(r_{n-1}-2)(r_{n-1}+2)[/tex3]
[tex3]s_{n}=s_{n-1}(r_{n-1}+2)[/tex3]
como [tex3]r_{1}[/tex3] é um inteiro, todos os [tex3]r_{n}[/tex3] também o serão pois:
[tex3]r_{n+1}=r_{n}^{2}-2[/tex3]
um inteiro ao quadrado da outro inteiro e um inteiro menos dois também é inteiro.
Agora repare que:
[tex3]r_{n-1}+2=r_{n-2}^{2}[/tex3]
ou seja para [tex3]n>2[/tex3] :
[tex3]s_{n}=s_{n-1}r_{n-2}^{2}[/tex3]
daqui vem que:
[tex3]s_{n}=s_{n-2}r_{n-3}^2r_{n-2}^2[/tex3]
e então:
[tex3]s_{n}=s_{2}r_{n-2}^{2}r_{n-3}^2...r_{1}^{2}[/tex3]
[tex3]r_{n}=r_{n-1}^{2}-2[/tex3]
[tex3]r_{n}- 2=r_{n-1}^{2}-4[/tex3]
[tex3]s_{n}=(r_{n-1}-2)(r_{n-1}+2)[/tex3]
[tex3]s_{n}=s_{n-1}(r_{n-1}+2)[/tex3]
como [tex3]r_{1}[/tex3] é um inteiro, todos os [tex3]r_{n}[/tex3] também o serão pois:
[tex3]r_{n+1}=r_{n}^{2}-2[/tex3]
um inteiro ao quadrado da outro inteiro e um inteiro menos dois também é inteiro.
Agora repare que:
[tex3]r_{n-1}+2=r_{n-2}^{2}[/tex3]
ou seja para [tex3]n>2[/tex3] :
[tex3]s_{n}=s_{n-1}r_{n-2}^{2}[/tex3]
daqui vem que:
[tex3]s_{n}=s_{n-2}r_{n-3}^2r_{n-2}^2[/tex3]
e então:
[tex3]s_{n}=s_{2}r_{n-2}^{2}r_{n-3}^2...r_{1}^{2}[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 18 Jun 2014, 17:39, em um total de 1 vez.
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