Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **gabrielxpg** » 15 Jun 2014, 02:37 · Mensagem não lida por **gabrielxpg** » 15 Jun 2014, 02:37

Um guarda-chuva pode ser usado aberto em 2 estágios. No
1º estágio, as varetas fazem 30° com o cabo e, no 2º estágio, elas
fazem 60° com o cabo, conforme ilustram as figuras a seguir.
Colocando-se o guarda-chuva na vertical, a área que fica sob o
guarda-chuva e, portanto, protegida da chuva, é circular.
No 2º estágio, essa área é n vezes maior que a área que fica sob o
guarda-chuva no 1º estágio. Assim, assinale a alternativa que
apresente o valor correto de n.
(A) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(B) 2
(C) 3
(D) 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(E) 3 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 15 Jun 2014, 11:02 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 15 Jun 2014, 11:02

Os dois segmentos de reta que comprimento igual a $x$ são diametralmente opostos e, portanto, $y$ é a medida do diâmetro da área circular que fica sob o guarda-chuva.

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Pela Lei dos Cossenos:

$y^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot\cos60^\circ\rightarrow y=x$

Assim, na situação em que as varetas fazem um ângulo de $30^\circ$ com o cabo, a área $A_1$ protegida será igual a $\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{\pi x^2}{4}$ .

: Untitled1.png (8.28 KiB) Exibido 518 vezes

Pela Lei dos Cossenos:

$y^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot\cos120^\circ\rightarrow y=x\sqrt{3}$

Assim, na situação em que as varetas fazem um ângulo de $60^\circ$ com o cabo, a área $A_2$ protegida será igual a $\pi\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3\pi x^2}{4}$ .

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{\frac{3\pi x^2}{4}}{\frac{\pi x^2}{4}}=3$

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