Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

[poti]

Mostre que

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[tex3]f[/tex3]

não é derivável na origem.

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[tex3]f(x) = \begin{cases}
x \cdot sen(\frac{1}{x}), \ x \neq 0 \\
0, \ x = 0
\end{cases}[/tex3]

[Cássio]

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[tex3]\lim_{h\to 0}\dfrac{(0+h)\sin(\frac{1}{0+h})-0}{h}=\lim_{h\to 0}\sin(\frac{1}{h})=\lim_{t\to \infty}\sin(t)[/tex3]

não existe.

[poti]

Como eu provo a inexistência usando

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[tex3]\epsilon - \delta[/tex3]

?

[Cássio]

Basta observar que em todo intervalo de comprimento

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[tex3]2\pi[/tex3]

o seno sempre atinge 1 e -1. Se convergisse, para todo

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[tex3]t[/tex3]

suficientemente grande, o sen t deveria se aproximar de um valor específico, mas ele fica oscilando.