Ensino Médio ⇒ Seno e Cosseno Tópico resolvido

[rafaelplaurindo]

Pessoal, expliquem-me uma parada, por que, pela definição, o seno de 90º será sempre 1? Isto é, 1 quando 90º, 0 quando 180 ou 360 (entendo pela angulação, pois ao se encontrar com o eixo dos cossenos, ou x ou das abcissas significa que a angulação é zero) e -1 (entendo por ser oposto a 90º).
Não entendi isso observando o círculo trigonométrico.

[PedroCunha]

O ciclo trigonométrico é uma circunferência centrada na origem e de raio 1, no qual o eixo y é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Assim, quando o ângulo é 90°, o seno vale 1. Quando o ângulo é 0,180° ou 360°, o seno vale 0. O mesmo se aplica para o cosseno e para os demais ângulos notáveis.

[csmarcelo]

Dado o triângulo ABC, reto em A, temos que o seno do ângulo

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[tex3]\alpha[/tex3]

, tal que

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[tex3]0^\circ<\alpha<90^\circ[/tex3]

, equivale a razão entre a medida do lado oposto a ele e a medida da hipotenusa.

Quando transportamos essa definição para o círculo trigonométrico, ocorre uma expansão da definição. O seno passa a ser, dado um ponto P qualquer na circunferência, a razão entre a ordenada deste ponto e a distância desse ponto até a origem, ou seja, o raio da circunferência.

Repare que, se o ponto encontra-se no primeiro quadrante, existe uma coincidência numérica entre o seno de

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[tex3]\alpha[/tex3]

no círculo trigonométrico e o seno de

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[tex3]\alpha[/tex3]

no triângulo retângulo ABC cujas medidas dos catetos correspondem aos valores de x e y no ponto P e a medida da hipotenusa corresponde ao raio da circunferência.

[rafaelplaurindo]

Marcelo, você quis dizer que que quanto maior a angulação, mais aproximará de 90º, e mais aproximará o valor da hipotenusa e do cateto oposto, aproximando-os do valor do raio da circunferência trigonométrica. Uma vez que sen(θ) = [tex3]{caceto \ oposto} \over {hipotenusa}[/tex3]

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[tex3]{caceto \ oposto} \over {hipotenusa}[/tex3]

, e todo número dividido por ele mesmo dá 1, então sen(90) = 1, pois nessa angulação, a hipotenusa e o cateto oposto desse triângulo que citou serão iguais.
É isso?

[PedroCunha]

Hipotenusa e cateto nunca serão iguais, uma vez que a hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

[csmarcelo]

Rafael,

Sim, ao nos aproximarmos de

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[tex3]90^\circ[/tex3]

, a medida o cateto oposto se aproxima da medida da hipotenusa, mas, repare que isso vale apenas para

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[tex3]\alpha<90^\circ[/tex3]

, visto que, no ângulo reto, não existirá um triângulo retângulo.

Creio que, ao falarmos de círculo trigonométrico, o ideal é "abandonarmos" a definição vinda do triângulo retângulo, que se restringe a

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[tex3]0<\alpha<90^\circ[/tex3]

.

...aproximando-os do valor do raio da circunferência trigonométrica.

Apesar de, conceitualmente, o círculo trigonométrico possuir raio igual a um, as definições trigonométricas valem para circunferências de qualquer diâmetro. Em uma circunferência de, por exemplo, raio igual a 2, ainda sim, ao nos aproximarmos de

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[tex3]90^\circ[/tex3]

, o seno do ângulo se aproximará de 1, não de 2.

Resumindo, e talvez sendo redundante, creio que a melhor explicação para sua pergunta é que é um, porque, aos

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[tex3]90^\circ[/tex3]

, a ordenada do ponto P coincide, numericamente, com a medida do raio e, portanto, a razão entre elas é igual a 1. Já aos

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[tex3]270^\circ[/tex3]

, a ordenada do ponto P coincide, numericamente, com o simétrico da medida do raio e, portanto, a razão entre elas é igual a -1.

[rafaelplaurindo]

Hipotenusa e cateto nunca serão iguais, uma vez que a hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

Eu não quis dizer cateto e hipotenusa conceitualmente, mas me referia aos segmentos de reta que os representam enquanto o triângulo é retângulo, pois quando o seno é 1, é como se o "cateto adjacente" fosse 0, isto é, o cosseno.