Ensino Fundamental

menelaus · Mensagem não lida por **menelaus** » 05 Jun 2014, 02:02

Sejam $a$ , $b$ e $c$ números reais distintos dois a dois e não nulos tais que $a + b+c=0$ . O valor de $\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)$ é igual a :

a) $0$
b) $1$
c) $3$
d) $9$
e) $27$

Resposta

Gabarito : $D$

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 07 Jun 2014, 12:41 · 07 Jun 2014, 12:41

Olá, Menelaus.

Desenvolvendo a expressão,

$\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)$

$3+\frac{b(b-c)}{a(c-a)}+\frac{b(a-b)}{c(c-a)}+\frac{a(c-a)}{b(b-c)}+\frac{a(a-b)}{c(b-c)}+\frac{c(b-c)}{a(a-b)}+\frac{c(c-a)}{b(a-b)}$

$\small 3+\left(\frac{b}{c-a}\right)\left(\frac{b-c}{a}+\frac{a-b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)+\left(\frac{a}{b-c}\right)\left(\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)$

$3+\frac{b^2(b-a-c)}{abc}+\frac{c^2(c-a-b)}{abc}+\frac{a^2(a-b-c)}{abc}$

Sabendo que,

$a+b+c=0\,\,\,\therefore\,\,\,\,\begin{cases}-a-b=c \\-b-c=a \\-a-c=b\end{cases}\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\,\,a^3+b^3+c^3=3abc$

Então,

$3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}=9$

Espero ter ajudado, abraço.

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