Ensino Fundamental

juniorcesar · 05 Jun 2014, 20:02

Utilize o desenvolvimento de [tex3](ax^{n+1}+by^{n+1})(x+y)-(ax^n+by^n)xy[/tex3] para determinar o valor de [tex3]ax^5+by^5[/tex3] onde a,b,x,y [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] sabendo que [tex3]ax+by=3[/tex3] ,[tex3]ax^2+by^2=7[/tex3] ,[tex3]ax^3+by^3=16[/tex3] e [tex3]ax^4+by^4=42[/tex3]
a)10
b)20
c)30
d)40
e)50

Mensagem não lidapor **jedi** » 06 Jun 2014, 12:50 · Mensagem não lida por **jedi** » 06 Jun 2014, 12:50

[tex3](ax^{n+1}+by^{n+1})(x+y)-(ax^n+by^n)xy=ax^{n+2}+bxy^{n+1}+ax^{n+1}y+by^{n+2}-ax^{n+1}y-bxy^{n+1}[/tex3]

[tex3](ax^{n+1}+by^{n+1})(x+y)-(ax^n+by^n)xy=ax^{n+2}+by^{n+2}[/tex3]

portanto

[tex3](ax^{2}+by^{2})(x+y)-(ax^1+by^1)xy=ax^{3}+by^{3}[/tex3]

[tex3]7(x+y)-3xy=16[/tex3]

e

[tex3](ax^{3}+by^{3})(x+y)-(ax^2+by^2)xy=ax^{4}+by^{4}[/tex3]

[tex3]16(x+y)-7xy=42[/tex3]

$\begin{cases}7(x+y)-3xy=16\\16(x+y)-7xy=42\end{cases}$

multiplicando a primeira equação por -7 e a segunda por 3 e somando teremos

$-(x+y)=14$

e com isso concluimos que

$xy=-38$

portanto

[tex3](ax^{4}+by^{4})(x+y)-(ax^3+by^3)xy=ax^{5}+by^{5}[/tex3]

[tex3](42)(-14)-(16)(-38)=ax^{5}+by^{5}[/tex3]

[tex3]ax^{5}+by^{5}=20[/tex3]

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