Ensino Médio

Dandarah · Mensagem não lida por **Dandarah** » 02 Jun 2014, 19:28

Na figura, a soma das áreas dos dois quadrados é igual a 78 cm² e a área do retângulo é igual a 66 cm². Pode-se concluir corretamente que AB é igual a:

: Sem título.jpg (16.44 KiB) Exibido 773 vezes

gab:

Resposta

12 cm

Mensagem não lidapor **roberto** » 02 Jun 2014, 20:55 · Mensagem não lida por **roberto** » 02 Jun 2014, 20:55

Sejam l o lado do quadrado menor e L o do maior. Então os lados do retâng. serão: [tex3]l\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]L\sqrt{2}[/tex3]
Área do retâng.: [tex3]l\sqrt{2}.L\sqrt{2}=2lL=66[/tex3]
A soma das áreas dos quadrados é: [tex3]l^2+L^2=78[/tex3]
Somando essas áreas:[tex3]L^2+2lL+l^2=144[/tex3]
[tex3](l+L)^2=144[/tex3]
[tex3]L+l=12[/tex3]
Temos agora que um produto [tex3]lL=33[/tex3]
e uma soma: [tex3]Ll=78[/tex3] Podemos montar uma equação do 2º grau dados a soma e o produto e resolvê-la:
Dá como respostas: [tex3]l=6-\frac{\sqrt{12}}{2}[/tex3]
e [tex3]L=6+\frac{\sqrt{12}}{2}[/tex3]
A questão pede: [tex3]AB=l+L=12[/tex3]
Entendeu?

Mensagem não lidapor **Marcos** » 02 Jun 2014, 21:01 · Mensagem não lida por **Marcos** » 02 Jun 2014, 21:01

Olá Dandarah.Observe uma 2ª solução:

: Geometria plana áreas.gif (3.69 KiB) Exibido 764 vezes

$i)$ Soma das áreas dos dois quadrados é igual a $78$ cm²
$\boxed{a^2+b^2=78}$

$ii)$ Área do retângulo é igual a $66$ cm²
$(a\sqrt{2}).(b\sqrt{2})=66$
$\boxed{a.b.2=66}$

$iii)$ Pode-se concluir corretamente que $AB$ é igual $a+b$ :
[tex3]\Rightarrow[/tex3] $AB=a+b$
[tex3]\Rightarrow[/tex3] $(AB)^2=(a+b)^2$
[tex3]\Rightarrow[/tex3] $(AB)^2=a^2+2.a.b+b^2$
[tex3]\Rightarrow[/tex3] $(AB)^2=a^2+b^2+2ab$ , substituindo por $(i)$ e $(ii)$
[tex3]\Rightarrow[/tex3] $(AB)^2=78+66$
[tex3]\Rightarrow[/tex3] $(AB)^2=144$ [tex3]\Longrightarrow[/tex3] $\boxed{\boxed{AB=12 cm}}$

Resposta: $12 cm$

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