Ensino Fundamental

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Os perímetros de dois polígonos semelhantes, inscritos em duas circunferências, estão entre si como raio os raios da circunferências. Provar.

Mensagem não lidapor **poti** » 30 Mai 2014, 10:11 · Mensagem não lida por **poti** » 30 Mai 2014, 10:11

Considerando os polígonos convexos de [tex3]n[/tex3] lados, podemos decompô-los em [tex3]n-2[/tex3] triângulos. Sendo assim, sem perda de generalidade, basta provar para dois triângulos inscritos. Considere os triângulos ABC e A'B'C':

Pela Lei dos Senos:

[tex3]\frac{a}{senA} = \frac{b}{senB} = \frac{c}{senC} = 2R[/tex3] , onde [tex3]R[/tex3] é o raio da circunferência
[tex3]\frac{a'}{senA'} = \frac{b'}{senB'} = \frac{c'}{senC'} = 2R'[/tex3] , onde [tex3]R'[/tex3] é o raio da circunferência

Pelas propriedades de proporções:

[tex3]\frac{a + b + c}{senA + senB + senC} = 2R[/tex3]
[tex3]\frac{a' + b' + c'}{senA' + senB' + senC'} = 2R'[/tex3]

[tex3]\frac{Perimetro(ABC)}{senA + senB + senC} = 2R[/tex3]
[tex3]\frac{Perimetro(A'B'C')}{senA' + senB' + senC'} = 2R'[/tex3]

Como são semelhantes, [tex3]A = A'[/tex3] , [tex3]B = B'[/tex3] e [tex3]C = C'[/tex3] , então:

[tex3]\frac{Perimetro(ABC)}{senA + senB + senC} = 2R[/tex3]
[tex3]\frac{Perimetro(A'B'C')}{senA + senB + senC} = 2R'[/tex3]

[tex3]\frac{Perimetro(ABC)}{2R} = senA + senB + senC[/tex3]
[tex3]\frac{Perimetro(A'B'C')}{2R'} = senA + senB + senC[/tex3]

Igualando:

[tex3]\boxed{\frac{Perimetro(ABC)}{2R} = \frac{Perimetro(A'B'C')}{2R'} \ _\blacksquare}[/tex3]

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