Oi,tava dando uma estudadinha por aqui e vi a questão de polinômios:
Sejam a, b e c as raizes do polinomio [tex3]p(x)=x^3+rx-t[/tex3]
, onde r e t são numeros reais nao nulos. Determine o valor da expressão [tex3]a^3+b^3+c^3[/tex3]
em funçao de r e t.
Nao consegui resolver...
bjs
IME / ITA ⇒ (IME - 2005) Polinômios Tópico resolvido
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Eduardo
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Dez 2006
09
20:29
Re: (IME - 2005) Polinômios
bom, utilizando -se girard:
[tex3]t = a.b.c[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]a=\frac{t}{bc}[/tex3] [tex3]b=\frac{t}{ac}[/tex3] [tex3]c=\frac{t}{ab}[/tex3]
[tex3]r = ab + ac + bc[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]r-ab = ac+bc[/tex3] [tex3]r-ac = ab+bc[/tex3] [tex3]r-bc = ac+ab[/tex3]
[tex3]0 = a + b + c[/tex3]
------------------------------------------------------------------------------------------------
[tex3](a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c +3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b[/tex3]
como [tex3]a+b+c=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(a(ab+ac) + b(ab+bc) +c(ac+bc))[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(\frac{t}{bc}(r-bc) + \frac{t}{ac}(r-ac) +\frac{t}{ab}(r-ab))[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3((\frac{rt}{bc}-t) + (\frac{rt}{ac}-t) +(\frac{rt}{ab}-t))[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(\frac{rta + rtb + rtc}{abc} -3t)[/tex3]
como [tex3]a+b+c=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(-3t)[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=9t[/tex3]
[tex3]t = a.b.c[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]a=\frac{t}{bc}[/tex3] [tex3]b=\frac{t}{ac}[/tex3] [tex3]c=\frac{t}{ab}[/tex3]
[tex3]r = ab + ac + bc[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]r-ab = ac+bc[/tex3] [tex3]r-ac = ab+bc[/tex3] [tex3]r-bc = ac+ab[/tex3]
[tex3]0 = a + b + c[/tex3]
------------------------------------------------------------------------------------------------
[tex3](a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c +3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b[/tex3]
como [tex3]a+b+c=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(a(ab+ac) + b(ab+bc) +c(ac+bc))[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(\frac{t}{bc}(r-bc) + \frac{t}{ac}(r-ac) +\frac{t}{ab}(r-ab))[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3((\frac{rt}{bc}-t) + (\frac{rt}{ac}-t) +(\frac{rt}{ab}-t))[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(\frac{rta + rtb + rtc}{abc} -3t)[/tex3]
como [tex3]a+b+c=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=-3(-3t)[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3=9t[/tex3]
Editado pela última vez por Eduardo em 09 Dez 2006, 20:29, em um total de 1 vez.
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marco_sx
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Fev 2007
24
22:04
Re: (IME - 2005) Polinômios
Eduardo, acredito que houve um engano.
[tex3](a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3b^{2}c+3ac^{2}+3bc^{2}+6abc[/tex3]
Portanto a resposta é 3t.
[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}=9t-6abc=9t-6t=3t[/tex3]
Vou propor uma outra solução.
[tex3]p(a)=p(b)=p(c)=0[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]a^{3}+ar-t=0 (I)[/tex3]
[tex3]b^{3}+br-t=0 (II)[/tex3]
[tex3]c^{3}+cr-t=0 (III)[/tex3]
Fazendo (I)+(II)+(III), temos:
[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3t-r(a+b+c)[/tex3]
Como [tex3]a+b+c=0 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3t[/tex3]
[tex3](a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3b^{2}c+3ac^{2}+3bc^{2}+6abc[/tex3]
Portanto a resposta é 3t.
[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}=9t-6abc=9t-6t=3t[/tex3]
Vou propor uma outra solução.
[tex3]p(a)=p(b)=p(c)=0[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]a^{3}+ar-t=0 (I)[/tex3]
[tex3]b^{3}+br-t=0 (II)[/tex3]
[tex3]c^{3}+cr-t=0 (III)[/tex3]
Fazendo (I)+(II)+(III), temos:
[tex3]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3t-r(a+b+c)[/tex3]
Como [tex3]a+b+c=0 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3t[/tex3]
Editado pela última vez por marco_sx em 24 Fev 2007, 22:04, em um total de 1 vez.
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