Dado que [tex3]g(x)= \frac{1}{\log 2x}+\frac{\log 2x}{1-\log 2x}[/tex3]
Determine o domínio de [tex3]y=\sqrt{1 - g(x)}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Logaritmo Tópico resolvido
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GehSillva7
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fabit
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Mai 2014
21
16:29
Re: Logaritmo
Há duas restrições a fazer: [tex3]2x[/tex3]
deve ser positivo (do contrário não se consegue extrair o logaritmo de [tex3]2x[/tex3]
) E a equação [tex3]1-g(x)\geq0[/tex3]
deve ser satisfeita (senão a raiz quadrada define uma função complexa, saindo do escopo do ensino médio).
Então [tex3]x>0[/tex3] e também [tex3]1-\frac{1}{\log2x}-\frac{\log2x}{1-\log2x}\geq0[/tex3]
Vou fazer o MMC e ver como fica:
[tex3]\frac{\log2x(1-\log2x)-(1-\log2x)-(\log2x)^2}{\log2x(1-\log2x)}\geq0[/tex3]
[tex3]\frac{\log2x-(\log2x)^2-1+\log2x-(\log2x)^2}{\log2x(1-\log2x)}\geq0[/tex3]
Agrupando e multiplicando em cima e embaixo por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]\frac{2(\log2x)^2-2\log2x+1}{\log2x(\log2x-1)}\leq0[/tex3]
Chamando [tex3]\log2x[/tex3] de [tex3]k[/tex3] , isso é [tex3]\frac{2k^2-2k+1}{k(k-1)}\leq 0[/tex3]
A quadrática de cima tem discriminante negativo e concavidade pra cima, logo é sempre positiva (desde que [tex3]k[/tex3] exista, pois não podemos esquecer a primeira restrição). A quadrática de baixo só é negativa entre 0 e 1. Então o quociente só fica menor ou igual a 0 entre 0 e 1.
[tex3]0<k<1\Rightarrow0<\log2x<1\Rightarrow10^0<2x<10^1[/tex3]
Então [tex3]1 < 2x < 10[/tex3] , o que equivale a [tex3]\frac{1}{2}<x<5[/tex3] . Por estar totalmente contida no trecho em que x>0, prevalece essa como o domínio de y:
[tex3]\left\{x\in\mathbb{R} \,\,\big|\,\, 0,5 < x < 5\right\}[/tex3]
Então [tex3]x>0[/tex3] e também [tex3]1-\frac{1}{\log2x}-\frac{\log2x}{1-\log2x}\geq0[/tex3]
Vou fazer o MMC e ver como fica:
[tex3]\frac{\log2x(1-\log2x)-(1-\log2x)-(\log2x)^2}{\log2x(1-\log2x)}\geq0[/tex3]
[tex3]\frac{\log2x-(\log2x)^2-1+\log2x-(\log2x)^2}{\log2x(1-\log2x)}\geq0[/tex3]
Agrupando e multiplicando em cima e embaixo por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]\frac{2(\log2x)^2-2\log2x+1}{\log2x(\log2x-1)}\leq0[/tex3]
Chamando [tex3]\log2x[/tex3] de [tex3]k[/tex3] , isso é [tex3]\frac{2k^2-2k+1}{k(k-1)}\leq 0[/tex3]
A quadrática de cima tem discriminante negativo e concavidade pra cima, logo é sempre positiva (desde que [tex3]k[/tex3] exista, pois não podemos esquecer a primeira restrição). A quadrática de baixo só é negativa entre 0 e 1. Então o quociente só fica menor ou igual a 0 entre 0 e 1.
[tex3]0<k<1\Rightarrow0<\log2x<1\Rightarrow10^0<2x<10^1[/tex3]
Então [tex3]1 < 2x < 10[/tex3] , o que equivale a [tex3]\frac{1}{2}<x<5[/tex3] . Por estar totalmente contida no trecho em que x>0, prevalece essa como o domínio de y:
[tex3]\left\{x\in\mathbb{R} \,\,\big|\,\, 0,5 < x < 5\right\}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 28 Out 2017, 21:46, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
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SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
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GehSillva7
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Mai 2014
26
10:32
Re: Logaritmo
Nada muda na primeira restrição: [tex3]x>0[/tex3]
.
O resto fica igualzinho até a definição do [tex3]k[/tex3] , que passa a ser [tex3]k=\log_2{x}[/tex3] . O quaociente entre as quadráticas em [tex3]k[/tex3] (função racional em [tex3]k[/tex3] ) é a mesmo e a solução em [tex3]k[/tex3] também: [tex3]0<k<1[/tex3] , mas depois disso fica [tex3]0<\log_2{x}<1\Rightarrow2^0<x<2^1\Rightarrow1<x<2[/tex3]
Continua incluído em x>0. A resposta vira [tex3]\left\{x\in\mathbb{R}\,\big|\,1 < x < 2\right\}[/tex3] .
O resto fica igualzinho até a definição do [tex3]k[/tex3] , que passa a ser [tex3]k=\log_2{x}[/tex3] . O quaociente entre as quadráticas em [tex3]k[/tex3] (função racional em [tex3]k[/tex3] ) é a mesmo e a solução em [tex3]k[/tex3] também: [tex3]0<k<1[/tex3] , mas depois disso fica [tex3]0<\log_2{x}<1\Rightarrow2^0<x<2^1\Rightarrow1<x<2[/tex3]
Continua incluído em x>0. A resposta vira [tex3]\left\{x\in\mathbb{R}\,\big|\,1 < x < 2\right\}[/tex3] .
Editado pela última vez por caju em 28 Out 2017, 21:47, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Razão: TeX --> TeX3
SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
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