Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - Limites

[Kaio]

1- Se existir lim quando x tende a de f(x) e lim quando x tende a de (f(x) + g(x)), então existe lim quando x tende a de g(x).


OBS.: Como faço pra colocar a função em limite?

[Cássio]

Seja

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[tex3]L_1=\lim_{x\to a}f(x)[/tex3]

e

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[tex3]L_2=\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)].[/tex3]

. Dado

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[tex3]\varepsilon>0,[/tex3]

existem

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[tex3]\delta_1, \delta_2>0[/tex3]

tal que

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[tex3]|x-a|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-L_1|<\varepsilon[/tex3]

e

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[tex3]|x-a|<\delta_2\Rightarrow |[f(x)+g(x)]-L_2|<\varepsilon[/tex3]

.

Vamos mostrar que

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[tex3]\lim_{x\to a}g(x)=L_2-L_1.[/tex3]

De fato, tomando

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[tex3]\delta=\text{min}\{\delta_1, \delta_2\}[/tex3]

, temos

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[tex3]|x-a|<\delta\Rightarrow\begin{cases} |f(x)-L_1|<\varepsilon \iff |L_1-f(x)|<\varepsilon\\ |[f(x)+g(x)]-L_2|<\varepsilon\end{cases}\ \\ \ \\[/tex3]

Pela desigualdade triangular, temos

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[tex3]\bigg|\big[L_1-f(x)\big]+\big[f(x)+g(x)-L_2\big]\bigg|\le |L_1-f(x)|+|f(x)+g(x)-L_2|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon.[/tex3]

,
ou seja,

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[tex3]\bigg|g(x)-(L_2-L_1)\bigg|\le 2\varepsilon.[/tex3]

Logo,

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[tex3]g(x)[/tex3]

converge para

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[tex3]L_2-L_1.[/tex3]

[Kaio]

E se fosse ao contrário? Por exemplo - o limite da função composta f(x) + g(x) EXISTE. Se eu adotar isso como verdade, os limites de f(x) e g(x) tem que existir né?

[Cássio]

Não. Basta tomar g(x)=-f(x), onde f não tem limite. Por exemplo: f(x)=x e g(x)=-x. Temos que f(x)+g(x)=0 para todo x, portanto o limite é zero. Porém, nem o limite de f nem de g existe.

Outra coisa: se o limite de f existir e de g não existir, então não existe limite de f+g.