A figura abaixo ilustra três vetores À, B e C de mesmo módulo. Determine o valor do
ângulo 8, em graus, para que a resultante do conjunto seja mínima, isto é, tenha o menor
módulo possível.
(a) 15°
(b) 22. 5°
(c) 30°
(d) 32.5°
(e) 15°
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física I ⇒ FÍSICA - VETORES Tópico resolvido
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queiroga
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FÍSICA - VETORES
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AnthonyC
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Nov 2021
14
06:51
Re: FÍSICA - VETORES
Seja [tex3]R[/tex3]
o módulo destes vetores, temos:
Pelo gráfico acima, podemos ver que:
[tex3]\vec{A}= -R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{B}=R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{C}= R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
Fazendo a soma destes três, temos:
[tex3]\vec{V}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=-R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}+ R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}+R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
Queremos que este vetor tenha menor módulo possível. Vamos então determinar seu módulo:
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]^2+[R\sen(\theta)]^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2\cos^2(\theta)+R^2\sen^2(\theta)}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=R\sqrt{4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1}[/tex3]
Queremos o valor de [tex3]\theta [/tex3] que minimiza o módulo de [tex3]\vec{V}[/tex3] . Como [tex3]R=cte[/tex3] e raiz quadrada é uma função constante, então devemos minimizar o valor dentro da raiz:
[tex3]4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1[/tex3]
Podemos encontrar o valor mínimo através de derivadas :
[tex3](4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1)'=0[/tex3]
[tex3]8\sen(\theta)\cos(\theta)-4\cos(\theta)\cos(\theta)+4\sen(\theta)\sen(\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4(\cos^2(\theta)-4\sen^2(\theta))=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4\cos(2\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)=4\cos(2\theta)[/tex3]
[tex3]\tan(2\theta)=1[/tex3]
[tex3]2\theta={\pi\over4}[/tex3]
[tex3]\theta={\pi\over8}=22,5^\circ[/tex3]
- decomp-1.png (15.55 KiB) Exibido 625 vezes
[tex3]\vec{A}= -R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{B}=R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{C}= R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
Fazendo a soma destes três, temos:
[tex3]\vec{V}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=-R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}+ R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}+R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
Queremos que este vetor tenha menor módulo possível. Vamos então determinar seu módulo:
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]^2+[R\sen(\theta)]^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2\cos^2(\theta)+R^2\sen^2(\theta)}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=R\sqrt{4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1}[/tex3]
Queremos o valor de [tex3]\theta [/tex3] que minimiza o módulo de [tex3]\vec{V}[/tex3] . Como [tex3]R=cte[/tex3] e raiz quadrada é uma função constante, então devemos minimizar o valor dentro da raiz:
[tex3]4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1[/tex3]
Podemos encontrar o valor mínimo através de derivadas :
[tex3](4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1)'=0[/tex3]
[tex3]8\sen(\theta)\cos(\theta)-4\cos(\theta)\cos(\theta)+4\sen(\theta)\sen(\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4(\cos^2(\theta)-4\sen^2(\theta))=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4\cos(2\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)=4\cos(2\theta)[/tex3]
[tex3]\tan(2\theta)=1[/tex3]
[tex3]2\theta={\pi\over4}[/tex3]
[tex3]\theta={\pi\over8}=22,5^\circ[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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