A figura abaixo ilustra três vetores À, B e C de mesmo módulo. Determine o valor do
ângulo 8, em graus, para que a resultante do conjunto seja mínima, isto é, tenha o menor
módulo possível.
(a) 15°
(b) 22. 5°
(c) 30°
(d) 32.5°
(e) 15°
Física I ⇒ FÍSICA - VETORES Tópico resolvido
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11
14:55
FÍSICA - VETORES
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Nov 2021
14
06:51
Re: FÍSICA - VETORES
Seja [tex3]R[/tex3]
o módulo destes vetores, temos:
Pelo gráfico acima, podemos ver que:
[tex3]\vec{A}= -R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{B}=R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{C}= R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
Fazendo a soma destes três, temos:
[tex3]\vec{V}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=-R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}+ R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}+R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
Queremos que este vetor tenha menor módulo possível. Vamos então determinar seu módulo:
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]^2+[R\sen(\theta)]^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2\cos^2(\theta)+R^2\sen^2(\theta)}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=R\sqrt{4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1}[/tex3]
Queremos o valor de [tex3]\theta [/tex3] que minimiza o módulo de [tex3]\vec{V}[/tex3] . Como [tex3]R=cte[/tex3] e raiz quadrada é uma função constante, então devemos minimizar o valor dentro da raiz:
[tex3]4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1[/tex3]
Podemos encontrar o valor mínimo através de derivadas :
[tex3](4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1)'=0[/tex3]
[tex3]8\sen(\theta)\cos(\theta)-4\cos(\theta)\cos(\theta)+4\sen(\theta)\sen(\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4(\cos^2(\theta)-4\sen^2(\theta))=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4\cos(2\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)=4\cos(2\theta)[/tex3]
[tex3]\tan(2\theta)=1[/tex3]
[tex3]2\theta={\pi\over4}[/tex3]
[tex3]\theta={\pi\over8}=22,5^\circ[/tex3]
- decomp-1.png (15.55 KiB) Exibido 595 vezes
[tex3]\vec{A}= -R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{B}=R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{C}= R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
Fazendo a soma destes três, temos:
[tex3]\vec{V}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=-R\cos(\theta)\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}+ R\sen(\theta)\hat{x}+R\cos(\theta)\hat{y}+R\sen(\theta)\hat{x}-R\cos(\theta)\hat{y}[/tex3]
[tex3]\vec{V}=[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]\hat{x}+R\sen(\theta)\hat{y}[/tex3]
Queremos que este vetor tenha menor módulo possível. Vamos então determinar seu módulo:
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{[2R\sen(\theta)-R\cos(\theta)]^2+[R\sen(\theta)]^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2\cos^2(\theta)+R^2\sen^2(\theta)}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=\sqrt{4R^2\sen^2(\theta)-4R^2\sen(\theta)\cos(\theta)+R^2}[/tex3]
[tex3]|\vec{V}|=R\sqrt{4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1}[/tex3]
Queremos o valor de [tex3]\theta [/tex3] que minimiza o módulo de [tex3]\vec{V}[/tex3] . Como [tex3]R=cte[/tex3] e raiz quadrada é uma função constante, então devemos minimizar o valor dentro da raiz:
[tex3]4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1[/tex3]
Podemos encontrar o valor mínimo através de derivadas :
[tex3](4\sen^2(\theta)-4\sen(\theta)\cos(\theta)+1)'=0[/tex3]
[tex3]8\sen(\theta)\cos(\theta)-4\cos(\theta)\cos(\theta)+4\sen(\theta)\sen(\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4(\cos^2(\theta)-4\sen^2(\theta))=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)-4\cos(2\theta)=0[/tex3]
[tex3]4\sen(2\theta)=4\cos(2\theta)[/tex3]
[tex3]\tan(2\theta)=1[/tex3]
[tex3]2\theta={\pi\over4}[/tex3]
[tex3]\theta={\pi\over8}=22,5^\circ[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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