Física I

Um corpo se move sobre uma circunferência de raio [tex3]R=10cm[/tex3] partindo em [tex3]t=0[/tex3] do ponto A. Sua velocidade escalar é dada por [tex3]v=30t^3[/tex3] . Determinar:

a) A equação horária do movimento na forma angular, isto é, [tex3]\theta=f(t)[/tex3] ;

b) O instante em que a aceleração total [tex3]\vec{a}[/tex3] faz um ângulo [tex3]\varphi=45\degree[/tex3] com o raio da circunferência que liga o corpo ao centro O. A velocidade escalar está expressa em unidades do sistema CGS.

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A letra A eu consegui fazer, pessoal, mas a letra b) eu não sei como formular o problema. Alguém poderia ajudar?

Gabarito:

a) [tex3]\theta=\dfrac{3}{4}t^4[/tex3]

b) [tex3]\pm 1s[/tex3]

a) Sabemos que a relação entre velocidade linear e angular é dada por:
[tex3]\omega={v\over R} [/tex3]
[tex3]\omega={30t^3 \over 10} [/tex3]
[tex3]\omega={3t^3} [/tex3]
Sabemos que a relação entre velocidade e posição é dada por:
[tex3]\Delta \theta=\int_0^t\omega dt[/tex3]
Logo:
[tex3]\Delta \theta=\int_0^t 3t^3 dt[/tex3]
[tex3]\Delta \theta=\left.{3t^4\over 4}\]_0^t[/tex3]
[tex3]\theta-\theta_i={3t^4\over 4}[/tex3]
Considerando a posição inicial como sendo [tex3]0[/tex3] :
[tex3] \theta={3t^4\over 4}[/tex3]

b) Sabemos que a aceleração total de um corpo em rotação é dado por suas componentes tangentes e centrípeta:
[tex3]\vec{a}=\vec{a}_{c}+\vec{a}_t[/tex3]
Como o ângulo entre o vetor e o raio é 45°, então as componentes centrípeta e tangente são iguais em módulo (Obs²):
[tex3]|\vec{a}_c|=|\vec{a}_t|[/tex3]
[tex3]{v^2\over R}={dv\over dt}[/tex3]
[tex3]{(30t^3)^2\over 10}={d\over dt}(30t^3)[/tex3]
[tex3]{90t^6}=90t^2[/tex3]
[tex3]{t^4}=1[/tex3]
[tex3]{t}=1 \text{ s } [/tex3] (Obs¹)

Obs¹: não sei se concordo com o [tex3]-1 [/tex3] como resposta, por que em geral consideramos o tempo sempre positivo. Mas seria possível considerar caso colocássemos o instante inicial anterior a partícula passar no ponto A.
Obs²: vou deixar pra você ponderar sobre, mas se tiver dificuldade pode avisar.

Perfeito, entendi perfeitamente a questão dos módulos iguais, sen e cos de 45 são iguais. Obrigado, fera.

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