Física I ⇒ Dinâmica de Rotação Tópico resolvido

[CarlGauss95]

O mecanismo indicado na figura é usado para elevar um engradado de suprimentos do depósito de um navio. O engradado possui massa total de 50 kg. Uma corda é enrolada em um cilindro de madeira que gira em torno de um eixo de metal. O cilindro possui raio igual a 0.25 m e momento de inércia I = 2.9 kg.m² em torno do eixo. O engradado é suspenso pela extremidade livre da corda. Uma extremidade do eixo está pivotada em mancais sem atrito; uma manivela está presa á outra extremidade. Quando a manivela gira, sua extremidade gira em torno de um circulo vertical de raio igual a 0.12 m. O cilindro gira e o engradado sobe. Calcule o módulo da força F aplicada tangencialmente a extremidade da manivela para elevar o engradado com uma aceleração de 0.80 m/s² . (A massa da corda e o momento de inércia do eixo e da manivela
podem ser desprezados.)

Resposta

---

1200N

[joaopcarv]

Considerando [tex3]\mathsf{g \ = \ 10 \ \dfrac{m}{s^2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{g \ = \ 10 \ \dfrac{m}{s^2}}[/tex3]

.

Movimento do engradado:

O engradado sobe com aceleração [tex3]\mathsf{a \ = \ 0,8 \ \dfrac{m}{s^2}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a \ = \ 0,8 \ \dfrac{m}{s^2}}[/tex3]

. Da dinâmica, vem:

[tex3]\mathsf{T \ - \ P \ = \ m \cdot a}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T \ - \ P \ = \ m \cdot a}[/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ m \cdot (g \ + \ a)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T \ = \ m \cdot (g \ + \ a)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ 540 \ N}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T \ = \ 540 \ N}[/tex3]

é a tração na corda.

Essa tração é tangencial ao cilindro. Além disso, a contribuição dos torques aplicados ao eixo do cilindro fazem o mesmo rotacionar aceleradamente.

A aceleração angular do cilindro, no ponto onde a corda se desenrola e se conecta ao engradado, é vinculada pela definição:

[tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \dfrac{a}{R}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \dfrac{a}{R}}[/tex3]

, onde [tex3]\mathsf{R \ = \ 0,25 \ m.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{R \ = \ 0,25 \ m.}[/tex3]

Da dinâmica de rotação:

[tex3]\mathsf{F \cdot a \ - \ T \cdot b \ = \ I \cdot \alpha}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{F \cdot a \ - \ T \cdot b \ = \ I \cdot \alpha}[/tex3]

, onde [tex3]\mathsf{a}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{b}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{b}[/tex3]

são os braços das forças em relação ao eixo do cilindro. Note ainda que a força [tex3]\mathsf{F}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{F}[/tex3]

aplica torque em um sentido, enquanto que a tração [tex3]\mathsf{T}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T}[/tex3]

aplica torque no sentido contrário.

Sendo [tex3]\mathsf{a \ = \ 0,12 \ m}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a \ = \ 0,12 \ m}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{b \ = \ R \ = \ 0,25 \ m}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{b \ = \ R \ = \ 0,25 \ m}[/tex3]

, vem que:

[tex3]\mathsf{F \cdot 0,12 \ - \ 540 \cdot 0,25 \ = \ 2,9 \cdot \dfrac{0,8}{0,25}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{F \cdot 0,12 \ - \ 540 \cdot 0,25 \ = \ 2,9 \cdot \dfrac{0,8}{0,25}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{F \ \approx \ 1202,33 \ N}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{F \ \approx \ 1202,33 \ N}}[/tex3]