Física I ⇒ (Cuzcano) Estática Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Qual deve ser o diâmetro do hemisfério sólido, de modo que cada vez que sua parte superior oscila para um dos lados, ele retorna à sua posição de equilíbrio. Considere que tanto o hemisfério quanto o cone são compactos homogêneos e do mesmo material.

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Resposta

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[tex3]r\geq h/\sqrt{3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r\geq h/\sqrt{3} [/tex3]

[Tassandro]

Zhadnyy,

Observe que basta a altura do centro de massa do sistema se localizar numa altura menor ou igual ao raio do hemisfério, usando a condição de tombamento de um corpo.

Logo, como os sólidos possuem a mesma densidade [tex3]ρ[/tex3]

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[tex3]ρ[/tex3]

, sabemos que o centro de massa do cone está a uma altura [tex3]\frac h4[/tex3]

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[tex3]\frac h4[/tex3]

de sua base e o CM da hemi-esfera está a [tex3]\frac{3r}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{3r}{8}[/tex3]

da face horizontal, ou seja, a [tex3]\frac{5r}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{5r}{8}[/tex3]

do solo.
Logo,

[tex3]\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}\leq r\to\\
\frac{\frac{ρπr^2h}{3}\cdot\(\frac h4+r\)\frac{2ρπr^3}{3}\cdot\frac{5r}{8}}{\frac{ρπr^2h}{3}+\frac{2ρπr^3}{3}}\leq r[/tex3]

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[tex3]\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}\leq r\to\\
\frac{\frac{ρπr^2h}{3}\cdot\(\frac h4+r\)\frac{2ρπr^3}{3}\cdot\frac{5r}{8}}{\frac{ρπr^2h}{3}+\frac{2ρπr^3}{3}}\leq r[/tex3]

Desenvolvendo essas contas, vem que

[tex3]h\leq\sqrt3r\therefore r\geq\frac{h}{\sqrt3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h\leq\sqrt3r\therefore r\geq\frac{h}{\sqrt3}[/tex3]