Física IDemonstração - Movimento de corpo rígido

Mecânica: Estática e Dinâmica

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FelipeMartin
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Demonstração - Movimento de corpo rígido

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Um corpo rígido é um conjunto de pontos cuja forma e medidas são preservadas ao longo de um movimento. Ou seja, as distâncias entre dois de seus pontos arbitrários permanece fixa ao longo do movimento. Convenciona-se também, que os movimentos realizados sejam contínuos no tempo de forma que não haja inversão de orientação, como em uma reflexão instantânea ao longo de um plano, por exemplo.

Assuma-se que os corpos rígidos contenham mais de três pontos. Eis alguns resultados para os corpos rígidos tridimensionais:

Teorema 1: Dado um corpo rígido [tex3]\mathcal C[/tex3] e dois eixos distintos, [tex3]I_1[/tex3] e [tex3]I_2[/tex3] , concorrentes em um ponto [tex3]O[/tex3] , então a composição de rotações ao redor de [tex3]I_1[/tex3] e [tex3]I_2[/tex3] é uma nova rotação por um terceiro eixo [tex3]I_3[/tex3] , que passa por [tex3]O[/tex3] .

Prova: Seja [tex3]\Gamma_r[/tex3] a esfera centrada em [tex3]O[/tex3] de raio [tex3]r>0[/tex3] . A rotação de um certo ângulo [tex3]\alpha_1[/tex3] ao redor de [tex3]I_1[/tex3] , no espaço, pode ser entendida como a união das rotações de [tex3]\alpha_1[/tex3] ao redor de [tex3]I_1[/tex3] nas esferas [tex3]\Gamma_r[/tex3] (com [tex3]r[/tex3] variando de [tex3]0[/tex3] até [tex3]\infty[/tex3] ), analogamente as rotações de [tex3]\alpha_2[/tex3] ao redor de [tex3]I_2[/tex3] em [tex3]\Gamma_r[/tex3] , quando unidas, geram a rotação no espaço.

Do Teorema de Euler, a composição das rotações em [tex3]\Gamma_r[/tex3] corresponde a uma nova rotação por um eixo [tex3]I_3[/tex3] em [tex3]\Gamma_r[/tex3] , cuja direção depende exclusivamente de [tex3]\alpha_1, \alpha_2, I_1[/tex3] e [tex3]I_2[/tex3] , logo a composição de ambas rotações constitui-se uma terceira rotação. [tex3]\square[/tex3]

Teorema 2: Dado um corpo rígido [tex3]\mathcal C[/tex3] contínuo, se um de seus pontos [tex3]P[/tex3] permanecer fixo durante o movimento, então o movimento pode ser descrito como uma rotação ao redor de um eixo que passe por [tex3]P[/tex3] .

Prova: Para o caso bidimensional, o resultado é trivial: pois os círculos [tex3]\gamma = \odot (P,r)[/tex3] serão preservados durante o movimento, e, do lema 2 daqui a isometria deverá ser uma rotação, assumindo a continuidade do movimento no tempo. Não é difícil ver que caso dois círculos [tex3]\gamma_1 = \odot (P,r_1)[/tex3] e [tex3]\gamma_2 = \odot (P,r_2)[/tex3] girem com ângulos distintos, as distâncias entre os pontos de [tex3]\gamma_1[/tex3] e [tex3]\gamma_2[/tex3] não se preservarão: Sejam [tex3]\{A_1, B1\} \subset \gamma_1[/tex3] e [tex3]\{A_2, B_2\} \in \gamma_2[/tex3] , com [tex3]B_1[/tex3] a imagem de [tex3]A_1[/tex3] e [tex3]B_2[/tex3] a imagem de [tex3]A_2[/tex3] , [tex3]\triangle A_1PA_2 \cong \triangle B_1PB_2[/tex3] por [tex3]L-L-L[/tex3] , implica que [tex3]\angle A_1PA_2 = \angle B_1PA_2[/tex3] o que só pode ser obtido por um mesmo ângulo de rotação.

O caso tridimensional é análogo: seja [tex3]\mathcal S_r[/tex3] o encontro de [tex3]\mathcal C[/tex3] com a esfera [tex3]\Gamma_r = \odot (P,r)[/tex3] , a imagem de [tex3]\mathcal S_r[/tex3] deverá preservar a forma de [tex3]\mathcal S[/tex3] na esfera [tex3]\Gamma_r[/tex3] , o que após análise análoga à acima, implicará em uma rotação de [tex3]\mathcal S_r[/tex3] ao redor de um eixo, e, caso [tex3]\mathcal S_{r_1}[/tex3] gire em outro eixo ou com outro ângulo em relação a [tex3]\mathcal S_{r_2}[/tex3] , haverá deslocamento entre algum ponto de [tex3]\mathcal S_{r_1}[/tex3] e [tex3]\mathcal S_{r_2}[/tex3] .

Teorema 3: Um corpo rígido apresenta [tex3]6[/tex3] graus de liberdade.

Prova: Um conjunto de [tex3]N[/tex3] partículas soltas possui [tex3]3N[/tex3] graus de liberdade correspondentes às coordenadas nas três dimensões que cada partícula pode apresentar.

Sejam [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] três pontos de um corpo rígido e sejam [tex3]A',B'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] suas imagens após o movimento. Sendo [tex3]D[/tex3] um quarto ponto do corpo rígido, sabemos que as distâncias [tex3]\overline{AD} = \overline{A'D'}, \overline{BD} = \overline{B'D'}[/tex3] e [tex3]\overline{CD} = \overline{C'D'}[/tex3] , então o ponto [tex3]D'[/tex3] está no encontro das esferas centradas em [tex3]A',B'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] e de raios [tex3]AD,BD[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] . Essas três esferas devem ser secantes, do contrário, [tex3]D'[/tex3] não respeitaria o vínculo de rígido. O encontro de três esferas secantes consiste sempre em 2 pontos distintos: [tex3]D'[/tex3] e [tex3]D''[/tex3] que são reflexos um do outro em relação ao plano definidos pelos centros das esferas (no caso, [tex3]A',B'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] ), porém, preservando-se a orientação em relação a [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] apenas um deles pode ser escolhido, portanto o ponto [tex3]D'[/tex3] fica bem determinado conhecendo-se as posições de [tex3]A',B'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] .

Logo, um corpo rígido previamente conhecido pode ser completamente determinado a partir das posições de apenas [tex3]3[/tex3] partículas quaisquer. Configurando-se [tex3]9[/tex3] graus de liberdade, mas que são sujeitos às restrições de distância: a distância entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , na direção do vetor [tex3]\overrightarrow{AB}[/tex3] é constante; essa é uma equação de vínculo que reduz [tex3]1[/tex3] grau de liberdade de [tex3]A[/tex3] , analogamente são reduzidos [tex3]1[/tex3] grau para [tex3]B[/tex3] e outro para [tex3]C[/tex3] , havendo portanto [tex3]9-3=6[/tex3] graus de liberdade ao todo para um movimento genérico de um corpo rígido. [tex3]\square[/tex3]

Teorema 4: Todo movimento de corpo rígido é equivalente a uma translação seguida por rotação em torno de um eixo.

Prova: Façamos uma translação no corpo rígido [tex3]\mathcal C[/tex3] com o vetor [tex3]\overrightarrow{AA'}[/tex3] . Essa translação levará [tex3]A[/tex3] em [tex3]A'[/tex3] , levará [tex3]B[/tex3] em [tex3]B''[/tex3] e [tex3]C[/tex3] em [tex3]C''[/tex3] .

Note então que [tex3]B'' = B + \overrightarrow{AA'} = B + A' - A = A' + \overrightarrow{AB}[/tex3] , então [tex3]|\overrightarrow{B''A'}| = |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{A'B'}|[/tex3] . Veja que existe uma rotação, em um eixo perpendicular ao plano gerado pelos vetores [tex3]\overrightarrow{A'B''}[/tex3] e [tex3]\overrightarrow{A'B'}[/tex3] que passa por [tex3]A'[/tex3] , que leva [tex3]B''[/tex3] em [tex3]B'[/tex3] (pois os módulos de [tex3]\overrightarrow{B'A'}[/tex3] e [tex3]\overrightarrow{A'B''}[/tex3] são iguais). Essa rotação leva [tex3]C''[/tex3] em [tex3]C'''[/tex3] .

Basta uma rotação em torno da reta [tex3]\overleftrightarrow{A'B'}[/tex3] para que o ponto [tex3]C'''[/tex3] caia sobre o ponto [tex3]C'[/tex3] , pois os triângulos [tex3]\triangle A'B'C''' \cong \triangle A'B'C'[/tex3] por [tex3]L-L-L[/tex3] , logo, possuem mesmo valor de altura em relação ao lado [tex3]A'B'[/tex3] e mesmo pé de altura, uma vez que a base [tex3]A'B'[/tex3] é compartilhada pelos triângulos congruentes e a distância [tex3]A'H[/tex3] ([tex3]H[/tex3] pé da altura tanto de [tex3]C'[/tex3] quanto [tex3]C'''[/tex3] ) deve ser a mesma.

Logo, o movimento mais genérico que um corpo rígido pode fazer consiste em uma translação seguida de duas rotações por eixos que passam por [tex3]A'[/tex3] . Do teorema 1, o movimento de um corpo rígido sempre será equivalente a uma translação seguida de uma rotação. [tex3]\square[/tex3]

Última edição: FelipeMartin (Ter 31 Ago, 2021 15:34). Total de 9 vezes.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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