Física I ⇒ (FB) Forças em trajetórias circulares Tópico resolvido

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Um tubo perfeitamente liso, comprimento L=10cm, é solidário a um eixo vertical de rotação, com o qual faz um ângulo de 30º. No interior do tubo existe uma pequena esfera. Qual a menor velocidade angular com que o tubo pode girar em torno do eixo vertical, com a esfera em seu interior?

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Resposta

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[tex3]10\sqrt{2\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]10\sqrt{2\sqrt{3}}[/tex3]

rad/s

[παθμ]

Podemos olhar no referencial no qual o sistema está em repouso, só precisamos acrescentar a força de inércia [tex3]F(r)=m \omega^2r[/tex3]

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[tex3]F(r)=m \omega^2r[/tex3]

horizontal. A esfera estaciona no valor de [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

para o qual não há força resultante na direção paralela ao tubo.

Screenshot 2023-10-25 213221.png (113.96 KiB) Exibido 1973 vezes

[tex3]mg \cos(\theta)= m \omega^2 r \cos(90 \degree - \theta) \Longrightarrow r=\frac{g}{\omega^2 \tan(\theta)}=\frac{\sqrt{3}g}{\omega^2}.[/tex3]

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[tex3]mg \cos(\theta)= m \omega^2 r \cos(90 \degree - \theta) \Longrightarrow r=\frac{g}{\omega^2 \tan(\theta)}=\frac{\sqrt{3}g}{\omega^2}.[/tex3]

Agora, para achar a distância [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

da esfera ao ponto mais baixo do tubo:

[tex3]\sin(30 \degree)=\frac{r}{l} \Longrightarrow l=\frac{2\sqrt{3}g}{\omega^2}.[/tex3]

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[tex3]\sin(30 \degree)=\frac{r}{l} \Longrightarrow l=\frac{2\sqrt{3}g}{\omega^2}.[/tex3]

Veja então que, quanto menor [tex3]\omega,[/tex3]

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[tex3]\omega,[/tex3]

maior [tex3]l,[/tex3]

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[tex3]l,[/tex3]

por isso há um valor mínimo de [tex3]\omega,[/tex3]

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[tex3]\omega,[/tex3]

que corresponde a [tex3]l=0,1 \; \text{m},[/tex3]

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[tex3]l=0,1 \; \text{m},[/tex3]

que é igual ao comprimento do tubo.

[tex3]\omega^2=\frac{2\sqrt{3}g}{l}=200\sqrt{3} \Longrightarrow \boxed{\omega=\sqrt{200\sqrt{3}} \; \text{rad/s}=10\sqrt{2\sqrt{3}} \; \text{rad/s}}[/tex3]

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[tex3]\omega^2=\frac{2\sqrt{3}g}{l}=200\sqrt{3} \Longrightarrow \boxed{\omega=\sqrt{200\sqrt{3}} \; \text{rad/s}=10\sqrt{2\sqrt{3}} \; \text{rad/s}}[/tex3]