Física I ⇒ Cinemática Vetorial ( Nível IME/ITA ) Tópico resolvido

[careca]

Uma partícula é lançada obliquamente, a partir de uma altura 3ℎ (ver figura). Sabe-se que
o ângulo de disparo vale 𝜃. Nestas condições, se a maior altura atingida acima do ponto de
projeção é ℎ, então distância horizontal 𝑑 percorrida pela partícula, imediatamente antes de
atingir o solo (ponto 𝐵) é:

vulcão.png (65.69 KiB) Exibido 1035 vezes

a) 2ℎ sen 𝜃.
b) 4ℎ cos 𝜃.
c) 6ℎ cot 𝜃.
d) 8ℎ tan 𝜃.
e) 8ℎ sec 𝜃.

Resposta

---

Gabarito = C

[erihh3]

A altura máxima é dada por [tex3]V_0^2=2g\Delta S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_0^2=2g\Delta S[/tex3]

.

Deste modo, [tex3]V_0^2\sen^2 \theta=2gh[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_0^2\sen^2 \theta=2gh[/tex3]

Pela equação do movimento parabólico, tem-se:

[tex3]y=\tan \theta \cdot x - \frac{g\cdot x^2}{2V_0^2\cos ^2 \theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\tan \theta \cdot x - \frac{g\cdot x^2}{2V_0^2\cos ^2 \theta}[/tex3]

Substituindo [tex3]V_0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_0[/tex3]

na eq

[tex3]y=\tan \theta \cdot x - \frac{ x^2}{4h\frac{\cos ^2 \theta}{\sen^2 \theta}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\tan \theta \cdot x - \frac{ x^2}{4h\frac{\cos ^2 \theta}{\sen^2 \theta}}[/tex3]

Como o objeto cai 3h abaixo do ponto de lançamento x será d quando y=-3h. Daí,

[tex3]-3h=\tan \theta \cdot d - \frac{ d^2\cdot \tan^2 \theta}{4h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-3h=\tan \theta \cdot d - \frac{ d^2\cdot \tan^2 \theta}{4h}[/tex3]

[tex3]- \frac{ d^2\cdot \tan^2 \theta}{4h}+\tan \theta \cdot d+3h=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]- \frac{ d^2\cdot \tan^2 \theta}{4h}+\tan \theta \cdot d+3h=0[/tex3]

Resolvendo a equação do segundo grau em [tex3]d.\tan \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d.\tan \theta[/tex3]

[tex3]d\cdot \tan \theta=-\frac{-1 \pm \sqrt{1+4\cdot 3h\cdot \frac{ 1}{4h}}}{2\cdot \frac{ 1}{4h}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d\cdot \tan \theta=-\frac{-1 \pm \sqrt{1+4\cdot 3h\cdot \frac{ 1}{4h}}}{2\cdot \frac{ 1}{4h}}[/tex3]

[tex3]d\cdot \tan \theta=-4h\cdot \frac{-1 \pm 2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d\cdot \tan \theta=-4h\cdot \frac{-1 \pm 2}{2}[/tex3]

[tex3]d_1 = -2h\cdot \cot \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_1 = -2h\cdot \cot \theta[/tex3]

ou [tex3]d_2 = 6h\cdot \cot \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_2 = 6h\cdot \cot \theta[/tex3]

d_1 não é possível pois seria um valor de d anterior ao ponto de lançamento. Logo, a única resposta possível é [tex3]d_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_2[/tex3]

.

[tex3]d = 6h\cdot \cot \theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d = 6h\cdot \cot \theta[/tex3]

C