Dois corpos, um de massa [tex3]m_1[/tex3]
e outro de massa [tex3]m_2[/tex3]
, estão em repouso no espaço e sob influência apenas de suas atrações gravitacionais. Sabendo que eles estão inicialmente a uma distância [tex3]d[/tex3]
, qual o tempo que eles levam para se chocar?
Não tenho a resposta.
Física I ⇒ Gravitação - encontro de dois corpos Tópico resolvido
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aleixoreis 
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Ago 2020
10
22:22
Re: Gravitação - encontro de dois corpos
gustavo2020:
Como vc não tem a resposta não garanto que a solução esteja certa.
Os corpos se exercem uma força mútua: [tex3]F=K\frac{m_1.m_2}{d^2}[/tex3]
Se [tex3]f=m.a[/tex3] , então:
[tex3]F=ma_1\rightarrow a_1=\frac{F}{m_1 }\rightarrow \frac{\frac{m_1m_2}{d^2}}{m_1}\rightarrow a_1=K\frac{m_1^2m_2}{d^2} [/tex3]
Igualmente: [tex3]F=m_2a_2\rightarrow a_2=K\frac{m_1m_2^2}{d^2}[/tex3]
Aceleração relativa de [tex3]m_1[/tex3] em relação a [tex3]m_2[/tex3] : [tex3]a_r=a_1-(-a_2)=a_1+a_2[/tex3]
Seria como se a massa [tex3]m_2[/tex3] estivesse imóvel e a massa [tex3]m_1[/tex3] se aproximando com a aceleração [tex3]a_r[/tex3] .
[tex3]a_r=K(\frac{m_1^2m_2+m_1m_2^2)}{d^2}[/tex3]
Sendo [tex3]d=\frac{a_rt^2}{2}\rightarrow t=\sqrt{\frac{2d^2}{a_r}}[/tex3]
Substituindo o valor de [tex3]a_r[/tex3] : [tex3]t=\sqrt{\frac{2d^2}{K(m_1^2m_2+m_1m_2^2)}}[/tex3]
Penso que é isso.
[ ]'s.
Como vc não tem a resposta não garanto que a solução esteja certa.
Os corpos se exercem uma força mútua: [tex3]F=K\frac{m_1.m_2}{d^2}[/tex3]
Se [tex3]f=m.a[/tex3] , então:
[tex3]F=ma_1\rightarrow a_1=\frac{F}{m_1 }\rightarrow \frac{\frac{m_1m_2}{d^2}}{m_1}\rightarrow a_1=K\frac{m_1^2m_2}{d^2} [/tex3]
Igualmente: [tex3]F=m_2a_2\rightarrow a_2=K\frac{m_1m_2^2}{d^2}[/tex3]
Aceleração relativa de [tex3]m_1[/tex3] em relação a [tex3]m_2[/tex3] : [tex3]a_r=a_1-(-a_2)=a_1+a_2[/tex3]
Seria como se a massa [tex3]m_2[/tex3] estivesse imóvel e a massa [tex3]m_1[/tex3] se aproximando com a aceleração [tex3]a_r[/tex3] .
[tex3]a_r=K(\frac{m_1^2m_2+m_1m_2^2)}{d^2}[/tex3]
Sendo [tex3]d=\frac{a_rt^2}{2}\rightarrow t=\sqrt{\frac{2d^2}{a_r}}[/tex3]
Substituindo o valor de [tex3]a_r[/tex3] : [tex3]t=\sqrt{\frac{2d^2}{K(m_1^2m_2+m_1m_2^2)}}[/tex3]
Penso que é isso.
[ ]'s.
Só sei que nada sei.(Sócrates)
-
LucasPinafi 
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Ago 2020
10
23:43
Re: Gravitação - encontro de dois corpos
cara essa solução ta errada... você usou um MUV para modelar esse problema... esse movimento é bastante complicado, mas tem uma solução bastante bacana. Se tu para uma das partículas, ela verá a outra com a massa reduzida [tex3]\mu = m_1 m_2/(m_1 +m_2)[/tex3] . Agora, podemos pensar que a outra orbita essa partícula parada... porém numa elipse beem achatada que se parece uma reta. Notemos que (para o caso de um movimento circular, mas sabemos que os resultados são os mesmos)...aleixoreis escreveu: ↑Seg 10 Ago, 2020 22:22gustavo2020:
Como vc não tem a resposta não garanto que a solução esteja certa.
Os corpos se exercem uma força mútua: [tex3]F=K\frac{m_1.m_2}{d^2}[/tex3]
Se [tex3]f=m.a[/tex3] , então:
[tex3]F=ma_1\rightarrow a_1=\frac{F}{m_1 }\rightarrow \frac{\frac{m_1m_2}{d^2}}{m_1}\rightarrow a_1=K\frac{m_1^2m_2}{d^2} [/tex3]
Igualmente: [tex3]F=m_2a_2\rightarrow a_2=K\frac{m_1m_2^2}{d^2}[/tex3]
Aceleração relativa de [tex3]m_1[/tex3] em relação a [tex3]m_2[/tex3] : [tex3]a_r=a_1-(-a_2)=a_1+a_2[/tex3]
Seria como se a massa [tex3]m_2[/tex3] estivesse imóvel e a massa [tex3]m_1[/tex3] se aproximando com a aceleração [tex3]a_r[/tex3] .
[tex3]a_r=K(\frac{m_1^2m_2+m_1m_2^2)}{d^2}[/tex3]
Sendo [tex3]d=\frac{a_rt^2}{2}\rightarrow t=\sqrt{\frac{2d^2}{a_r}}[/tex3]
Substituindo o valor de [tex3]a_r[/tex3] : [tex3]t=\sqrt{\frac{2d^2}{K(m_1^2m_2+m_1m_2^2)}}[/tex3]
Penso que é isso.
[ ]'s.
[tex3]\mu \omega ^2 R = \frac{Gm_1m_2}{R^2} \Longrightarrow \frac{m_1m_2}{m_1 +m_2}\omega ^2 R = \frac{Gm_1m_2}{R^2} \\ \omega = \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{R^3}} \Longrightarrow T=2\pi /\omega = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G(m_1 +m_2)}}[/tex3]
Esse [tex3]a= \frac{R_1+R_2}{2} = \frac{d}{2}[/tex3] é o "raio médio" da órbita. Dessa forma, o tempo de colisão será metade do período...
[tex3]t= \pi \sqrt{\frac{d^3/8}{G(m_1+m_2)}} = \pi \sqrt{\frac{d^3}{8G(m_1+m_2)}}[/tex3]
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
-
gustavo2020 
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Ago 2020
11
10:23
Re: Gravitação - encontro de dois corpos
LucasPinafi, muito bacana a solução. Eu já tinha visto essa ideia da elipse degenerada, mas não sabia como aplicá-la no problema. Uma dúvida: se não usasse esse método, só seria possível resolver com o uso de cálculo?
Muito obrigado.
Muito obrigado.
-
aleixoreis
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Ago 2020
11
12:36
Re: Gravitação - encontro de dois corpos
Obrigado. Vivendo e aprendendo.
[ ]'s.
[ ]'s.
Só sei que nada sei.(Sócrates)
Set 2020
16
19:46
Re: Gravitação - encontro de dois corpos
Alguém saberia resolver via cálculo? Estou caindo numa integral sem primitiva...
-
FelipeMartin
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Set 2020
16
21:20
Re: Gravitação - encontro de dois corpos
ITAIME,
[tex3]a_1 = G\frac{m_2}{d^2}[/tex3]
e
[tex3]a_2 = G \frac{m_1}{d^2}[/tex3]
criemos um eixo coordenado cuja origem está na posição inicial de [tex3]m_1[/tex3] e que tenha um eixo [tex3]x[/tex3] na semi-reta [tex3]m_1,m_2[/tex3] .
A coordenada de [tex3]m_1[/tex3] no instante de tempo [tex3]t[/tex3] é [tex3]x_1(t)[/tex3] e a coordenada de [tex3]m_2[/tex3] é [tex3]x_2(t)[/tex3] de forma que [tex3]x_1(0) =0[/tex3] e [tex3]x_2(0) = d[/tex3] .
Como não há forças externas o centro de massa é fixo no tempo:
[tex3]x_{CM} = \frac{m_1\cdot 0 + m_2 \cdot d}{m_1+m_2} = \frac{m_1 x_1(t) + m_2 x_2(t)}{m_1 + m_2}[/tex3]
portanto:
[tex3]m_2d = m_1x_1(t) + m_2x_2(t)[/tex3]
sabemos que a distância entre os corpors no instante [tex3]t[/tex3] é dada por [tex3]d(t) = x_2(t) - x_1(t)[/tex3] de onde:
[tex3]m_2d = m_1x_1(t) + m_2(x_1(t) + d(t))[/tex3]
de forma que, derivando duas vezes em relação ao tempo essa relação chegamos que:
[tex3]0 = (m_1+m_2)a_1 + m_2d''(t) \iff d''(t) = - \frac{m_1+m_2}{m_2} a_1 = -(m_1+m_2)G\frac1{d(t)^2}[/tex3]
há uma relação no cálculo que é a seguinte: [tex3]y''(t) \cdot dy = y'(t) \cdot d(y')[/tex3] que é uma regra da cadeia bem útil para a física. Aplicando ela em [tex3]d(t)[/tex3] :
[tex3]-(m_1+m_2)G d^{-2} d(d) = d' d(d')[/tex3]
a notação ficou meio ruim mas o parenteses indica a diferencial. Integramos a relação:
[tex3](m_1+m_2)G\frac1{d(t)} + k = \frac{d'^2(t)}2[/tex3]
como inicialmente tínhamos os dois em repouso: [tex3]d'(0) = x_1'(0) - x_2'(0) = 0-0=0[/tex3] e como [tex3]d(0) = d[/tex3]
temos [tex3]k = \frac{-(m_1+m_2)G}d[/tex3]
de onde:
[tex3]d'(t) = \sqrt{2(m_1+m_2)G (\frac1{d(t)}-\frac1d)} = \frac{d (d)}{dt}[/tex3]
por fim:
[tex3]\int_0^T dt = \int_{d(0)}^{d(T)} \frac{d(d)}{\sqrt{2(m_1+m_2)G (\frac1{d(t)}-\frac1d)} }[/tex3] (aqui parece que daria um problema quando [tex3]T=0[/tex3] mas esse é um caso limite pontual, você pode contornar essa falha fazendo a integral sem limites de integração e encontrando a constante depois)
então
[tex3]T \cdot \sqrt{2(m_1+m_2)G} = (d^{\frac32} \arctan(\sqrt {\frac{d}{d(T)}-1}) +d\cdot d(T) \sqrt{\frac1{d(T)}-\frac1d} ) ) [/tex3]
para encontrar [tex3]T[/tex3] basta fazer [tex3]d(T) \rightarrow 0[/tex3] o arco tangente vai para [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] :
[tex3]T \cdot \sqrt{2(m_1+m_2)G} = d^{\frac32} \frac \pi2[/tex3]
acho que é isso:
[tex3]T = \frac \pi2 \frac{d^{\frac32}}{\sqrt{2(m_1+m_2)G}}[/tex3]
parece ser isso, mas a unidade tá meio estranha não?
[tex3]a_1 = G\frac{m_2}{d^2}[/tex3]
e
[tex3]a_2 = G \frac{m_1}{d^2}[/tex3]
criemos um eixo coordenado cuja origem está na posição inicial de [tex3]m_1[/tex3] e que tenha um eixo [tex3]x[/tex3] na semi-reta [tex3]m_1,m_2[/tex3] .
A coordenada de [tex3]m_1[/tex3] no instante de tempo [tex3]t[/tex3] é [tex3]x_1(t)[/tex3] e a coordenada de [tex3]m_2[/tex3] é [tex3]x_2(t)[/tex3] de forma que [tex3]x_1(0) =0[/tex3] e [tex3]x_2(0) = d[/tex3] .
Como não há forças externas o centro de massa é fixo no tempo:
[tex3]x_{CM} = \frac{m_1\cdot 0 + m_2 \cdot d}{m_1+m_2} = \frac{m_1 x_1(t) + m_2 x_2(t)}{m_1 + m_2}[/tex3]
portanto:
[tex3]m_2d = m_1x_1(t) + m_2x_2(t)[/tex3]
sabemos que a distância entre os corpors no instante [tex3]t[/tex3] é dada por [tex3]d(t) = x_2(t) - x_1(t)[/tex3] de onde:
[tex3]m_2d = m_1x_1(t) + m_2(x_1(t) + d(t))[/tex3]
de forma que, derivando duas vezes em relação ao tempo essa relação chegamos que:
[tex3]0 = (m_1+m_2)a_1 + m_2d''(t) \iff d''(t) = - \frac{m_1+m_2}{m_2} a_1 = -(m_1+m_2)G\frac1{d(t)^2}[/tex3]
há uma relação no cálculo que é a seguinte: [tex3]y''(t) \cdot dy = y'(t) \cdot d(y')[/tex3] que é uma regra da cadeia bem útil para a física. Aplicando ela em [tex3]d(t)[/tex3] :
[tex3]-(m_1+m_2)G d^{-2} d(d) = d' d(d')[/tex3]
a notação ficou meio ruim mas o parenteses indica a diferencial. Integramos a relação:
[tex3](m_1+m_2)G\frac1{d(t)} + k = \frac{d'^2(t)}2[/tex3]
como inicialmente tínhamos os dois em repouso: [tex3]d'(0) = x_1'(0) - x_2'(0) = 0-0=0[/tex3] e como [tex3]d(0) = d[/tex3]
temos [tex3]k = \frac{-(m_1+m_2)G}d[/tex3]
de onde:
[tex3]d'(t) = \sqrt{2(m_1+m_2)G (\frac1{d(t)}-\frac1d)} = \frac{d (d)}{dt}[/tex3]
por fim:
[tex3]\int_0^T dt = \int_{d(0)}^{d(T)} \frac{d(d)}{\sqrt{2(m_1+m_2)G (\frac1{d(t)}-\frac1d)} }[/tex3] (aqui parece que daria um problema quando [tex3]T=0[/tex3] mas esse é um caso limite pontual, você pode contornar essa falha fazendo a integral sem limites de integração e encontrando a constante depois)
então
[tex3]T \cdot \sqrt{2(m_1+m_2)G} = (d^{\frac32} \arctan(\sqrt {\frac{d}{d(T)}-1}) +d\cdot d(T) \sqrt{\frac1{d(T)}-\frac1d} ) ) [/tex3]
para encontrar [tex3]T[/tex3] basta fazer [tex3]d(T) \rightarrow 0[/tex3] o arco tangente vai para [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] :
[tex3]T \cdot \sqrt{2(m_1+m_2)G} = d^{\frac32} \frac \pi2[/tex3]
acho que é isso:
[tex3]T = \frac \pi2 \frac{d^{\frac32}}{\sqrt{2(m_1+m_2)G}}[/tex3]
parece ser isso, mas a unidade tá meio estranha não?
Última edição: FelipeMartin (Qua 16 Set, 2020 21:44). Total de 3 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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