Física I(Rufino) Hidrostática Tópico resolvido

Mecânica: Estática e Dinâmica

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(Rufino) Hidrostática

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Um carro tanque parcialmente cheio de um líquido homogêneo percorre com aceleração constante um declive retilíneo de estrada, inclinado de um ângulo theta em relação ao horizonte e que possui coeficiente de atrito cinético igual a mi. Determinar o ângulo alfa que a superfície livre do líquido, suposto em equilíbrio, forma com o horizonte.
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[tex3]sen\alpha =\frac{sen\theta -\mu cos\theta }{\sqrt{1+\mu ^2}}[/tex3]




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Tassandro
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Re: (Rufino) Hidrostática

Mensagem não lida por Tassandro »

Zhadnyy,
Para chegar ao gabarito temos que fazer considerações que não me parecem adequadas. As duas são: [tex3]\tgθ=μ\iff[/tex3] o carrinho estivesse em repouso, o que contradiz a sua aceleração constante (se bem que a=0 é uma constante 🤷‍♂️) e que a gravidade aparente no líquido é igual a g (o que também não faz muito sentido para mim).
De modo geral, se a aceleração do carrinho vale a, supondo que ele está se movendo para baixo (se bem que a superfície da água dá a entender que ele está se movendo para cima), podemos fazer que
[tex3]g_{ap}\senα=a\cosθ\\
g_{ap}\cosα=g+a\senθ\\
a=g(\senθ-μ\cosθ)\tag*{}[/tex3]
Se dividirmos as duas equações do início, dá para achar o [tex3]α[/tex3] em função de θ e μ, mas para isolar só o seno de α vai dar umas contas boas.
Não sei como chegar a esse gabarito sem usar aquelas considerações :|



Dias de luta, dias de glória.

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παθμ
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Re: (Rufino) Hidrostática

Mensagem não lida por παθμ »

Seja [tex3]\vec{a}[/tex3] a aceleração do carrinho descendo a rampa. No referencial do carrinho, então, a gravidade aparente [tex3]\vec{g'}[/tex3] é a soma vetorial de [tex3]\vec{g}[/tex3] com [tex3]-\vec{a}[/tex3] (ou seja, um vetor de módulo [tex3]a[/tex3] apontando ao longo do plano inclinado e subindo).

Assim, as componentes de [tex3]\vec{g'}[/tex3] são [tex3]a\cos(\theta)[/tex3] para a direita e [tex3]g-a\sin(\theta)[/tex3] para baixo.

A gravidade aparente no carrinho deve ser perpendicular à superfície da água em equilíbrio. Isso implica que [tex3]\vec{g'}[/tex3] faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com a vertical, conforme ilustrado abaixo:
Screenshot 2023-10-16 141342.png
Screenshot 2023-10-16 141342.png (171.23 KiB) Exibido 181 vezes
Temos [tex3]g'^2=(g-a\sin(\theta))^2+a^2\cos^2(\theta)=g^2-2ag\sin(\theta)+a^2.[/tex3]

Sabemos que a aceleração de um corpo que desliza descendo um plano inclinado com coef. de atrito [tex3]\mu[/tex3] é [tex3]a=g(\sin(\theta)-\mu \cos(\theta)).[/tex3] Plugando isso na expressão de [tex3]g'^2[/tex3] :

[tex3]g'^2=g^2-2g^2\sin^2(\theta)+2\mu g^2 \sin(\theta) \cos(\theta)+g^2 \sin^2(\theta)-2\mu g^2 \sin(\theta) \cos(\theta)+\mu ^2 g^2 \cos^2(\theta)[/tex3]

[tex3]g'^2=g^2-g^2\sin^2(\theta)+\mu^2 g^2 \cos^2(\theta)=g^2(1-\sin^2(\theta)+\mu^2 \cos^2(\theta))=g^2(\cos^2(\theta)+\mu^2 \cos^2(\theta)),[/tex3]

logo: [tex3]g'=g\cos(\theta)\sqrt{1+\mu^2}.[/tex3]

[tex3]\sin(\alpha)=\frac{a \cos(\theta)}{g'}=\boxed{\frac{\sin(\theta)-\mu \cos(\theta)}{\sqrt{1+\mu^2}}}[/tex3]

Última edição: παθμ (Seg 16 Out, 2023 14:35). Total de 1 vez.



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