Seja [tex3]\vec{a}[/tex3]
a aceleração do carrinho descendo a rampa. No referencial do carrinho, então, a gravidade aparente [tex3]\vec{g'}[/tex3]
é a soma vetorial de [tex3]\vec{g}[/tex3]
com [tex3]-\vec{a}[/tex3]
(ou seja, um vetor de módulo [tex3]a[/tex3]
apontando ao longo do plano inclinado e subindo).
Assim, as componentes de [tex3]\vec{g'}[/tex3]
são [tex3]a\cos(\theta)[/tex3]
para a direita e [tex3]g-a\sin(\theta)[/tex3]
para baixo.
A gravidade aparente no carrinho deve ser perpendicular à superfície da água em equilíbrio. Isso implica que [tex3]\vec{g'}[/tex3]
faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
com a vertical, conforme ilustrado abaixo:
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Temos [tex3]g'^2=(g-a\sin(\theta))^2+a^2\cos^2(\theta)=g^2-2ag\sin(\theta)+a^2.[/tex3]
Sabemos que a aceleração de um corpo que desliza descendo um plano inclinado com coef. de atrito [tex3]\mu[/tex3]
é [tex3]a=g(\sin(\theta)-\mu \cos(\theta)).[/tex3]
Plugando isso na expressão de [tex3]g'^2[/tex3]
:
[tex3]g'^2=g^2-2g^2\sin^2(\theta)+2\mu g^2 \sin(\theta) \cos(\theta)+g^2 \sin^2(\theta)-2\mu g^2 \sin(\theta) \cos(\theta)+\mu ^2 g^2 \cos^2(\theta)[/tex3]
[tex3]g'^2=g^2-g^2\sin^2(\theta)+\mu^2 g^2 \cos^2(\theta)=g^2(1-\sin^2(\theta)+\mu^2 \cos^2(\theta))=g^2(\cos^2(\theta)+\mu^2 \cos^2(\theta)),[/tex3]
logo: [tex3]g'=g\cos(\theta)\sqrt{1+\mu^2}.[/tex3]
[tex3]\sin(\alpha)=\frac{a \cos(\theta)}{g'}=\boxed{\frac{\sin(\theta)-\mu \cos(\theta)}{\sqrt{1+\mu^2}}}[/tex3]