Física IDemonstração - Energia Potencial Gravitacional no interior de um planeta Tópico resolvido

Mecânica: Estática e Dinâmica

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Demonstração - Energia Potencial Gravitacional no interior de um planeta

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Considere um ponto no interior de um planetade massa M a uma distância r do centro e outro ponto na superfície (r=R) e uma partícula de massa m que se desloca daquele ponto a este.
Temos que o trabalho da força gravitacional entre esses dois pontos é dado em módulo pela área de um trapézio (lembre que para pontos no interior de um planeta, a força gravitacional é diretamente proporcional à distância ao centro desse planeta).
Assim, podemos fazer que:
[tex3]|W_{F_G}|=\frac{\(mg_0+mg_0\frac{r}{R}\)(R-r)}{2}\\
|W_{F_G}|=\frac{mg_0(R^2-r^2)}{2R}[/tex3]
Mas perceba que o sinal desse trabalho deve ser negativo, pois a força gravitacional tem sentido oposto ao vetor deslocamento da partícula (trabalho resistente). Assim, o trabalho realizado pela força gravitacional entre esses dois pontos vale:
[tex3]W_{F_G}=-\frac{mg_0(R^2-r^2)}{2R}[/tex3]
Mas, como a força gravitacional é conservativa, temos que
[tex3]W_{F_G}=-ΔU\implies \frac{mg_0(r^2-R^2)}{2R}=U_I-U_F[/tex3]
Mas, note que quando a partícula se localiza na superfície do planeta, sua energia potencial vale [tex3]U_F=-\frac{GMm}{R}=-mg_0R\\
\implies \frac{mg_0(r^2-R^2)}{2R}=U_I-(-mg_0R)\\
\implies \boxed{U_I=\frac{mg_0(r^2-3R^2)}{2R}}[/tex3]
Caso Importante: Quando a partícula se encontra no centro do planeta (r=0):
[tex3]\boxed{\color{green}U=-\frac{3mg_0R}{2}}[/tex3]

Última edição: Tassandro (Dom 26 Abr, 2020 11:41). Total de 1 vez.


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Re: Demonstração - Energia Potencial Gravitacional no interior de um planeta

Mensagem não lida por Tassandro »

Exemplo de aplicação (Alonso e Finn):
Uma partícula de massa m é abandonada de uma altura h (h<R) imediatnte acima de um túnel que passa pelo centro da Terra. Considerando A Terra como uma esfera de constituição homogênea e desprezando os efeitos de rotação, determine o valor da velocidade da partícula ao passar pelo centro de Terra em função de h,[tex3]g_0[/tex3] e R, sendo [tex3]g_0[/tex3] a aceleração da gravidade na superfície terrestre e R o raio da Terra.
Solução:
Aplicando a conservação da Energia Mecânica:
[tex3]E_{\text{inicial}}=E_{\text{final}}\\
\implies U_I+K_I=U_F+K_F\\
\implies-\frac{GMm}{R+h}+0=\frac{mg_0(r^2-3R^2)}{2R}+\frac{mv^2}{2};\\
\text{Mas r=0, assim:}\\
-\frac{GMm}{(R+h)}=-\frac{3mg_0R}{2}+\frac{mv^2}{2}\\
\text{Usando que }g_0=\frac{GM}{R^2}:\\
\frac{mg_0R^2}{R+h}=-\frac{3mg_0R^2}{2R}+\frac{mv^2}{2}\\
\text{Após algumas simplificações algébricas:}\\
v^2=3g_0R-\frac{2g_0R^2}{R+h}\\
\therefore \boxed{v=\sqrt{g_0R\cdot\(\frac{R+3h}{R+h}\)}}[/tex3]



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