Olá
ismaelmat,
Inicialmente, sabemos que a relação entre força centrípeta e gravitacional gera a seguinte igualdade:
[tex3]\text{v} = \sqrt \frac{\text G \cdot \text M}{\text {R} } [/tex3]
No entanto, disso podemos substituir a velocidade angular e obter uma relação com o período:
[tex3]\omega \cdot \text {R} = \sqrt \frac{\text G \cdot \text M}{\text {R} } \, \, \iff \, \, \frac{2 \cdot \pi \cdot \text {R} }{\text{T}} = \sqrt \frac{\text G \cdot \text M}{\text {R} } \, \, \Rightarrow \text{T} = 2 \cdot \pi \cdot \text {R} \cdot \sqrt \frac {\text {R}}{\text{G} \cdot \text {M}} \, \, \iff \, \, {\color{forestgreen}\boxed{\text{T} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt \frac {\text {R}^3}{\text{G} \cdot \text {M}}} } [/tex3]