Física I ⇒ Gravitação - Razão Velocidade do Satélite x Velocidade da Lua Tópico resolvido

[ismaelmat]

7.383 - Um satélite gira em torno da Terra em uma órbita circular, cujo raio é igual a 1/4 do raio da órbita da Lua. Adote o período da Lua igual a 28 dias.

Qual a razão entre o módulo da velocidade do satélite e o módulo da velocidade da Lua (Vsat/Vlua)?

Gabarito :

Resposta

---

2

Eu estou achando 1/2, onde estou errando no final fica 2Vsat = Vlua!

[Planck]

Olá ismaelmat,

Inicialmente, sabemos que a velocidade de um satélite é consequência da seguinte relação:

[tex3]\text{F}_{\text{cp}} = \text {F} _\text{G} \, \, \iff \, \, \frac{\text {m} \cdot \text {v}^2}{\text{R}} = \frac{\text{G} \cdot \text{M} \cdot \text {m}}{\text{R}^2} \, \, \implies \, \, \text {v} = \sqrt{\frac{\text{G} \cdot \text{M}}{\text{R}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{F}_{\text{cp}} = \text {F} _\text{G} \, \, \iff \, \, \frac{\text {m} \cdot \text {v}^2}{\text{R}} = \frac{\text{G} \cdot \text{M} \cdot \text {m}}{\text{R}^2} \, \, \implies \, \, \text {v} = \sqrt{\frac{\text{G} \cdot \text{M}}{\text{R}}}[/tex3]

Podemos aplicar essa relação para ambos corpos. Primeiro para o satélite:

[tex3]\text {v}_{\text{s}} = \sqrt{\frac{\text{G} \cdot \text{M}}{\frac{1}{4}\text{R}_{\text{Lua}}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot \text{G} \cdot \text{M}}{\text{R}_{\text{Lua}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text {v}_{\text{s}} = \sqrt{\frac{\text{G} \cdot \text{M}}{\frac{1}{4}\text{R}_{\text{Lua}}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot \text{G} \cdot \text{M}}{\text{R}_{\text{Lua}}}}[/tex3]

Agora, para Lua:

[tex3]\text {v}_{\text{Lua}} = \sqrt{\frac{\text{G} \cdot \text{M}}{\text{R}_{\text{Lua}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text {v}_{\text{Lua}} = \sqrt{\frac{\text{G} \cdot \text{M}}{\text{R}_{\text{Lua}}}}[/tex3]

Logo, a razão pedida será dada por:

[tex3]\frac{\text {v}_{\text{s}}}{\text {v}_{\text{Lua}}} = \sqrt\frac{{\frac{4 \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}\text{G} \cdot \text{M}}}}}{{\color{red}\cancel{{\color{black}\text{R}_{\text{Lua}}}}}}}}{{\frac{{\color{red}\cancel{{\color{black}\text{G} \cdot \text{M}}}}}{{\color{red}\cancel{{\color{black}\text{R}_{\text{Lua}}}}}}}} = \sqrt \frac{4}{1} \, \, \implies \, \,{\color {forestgreen} \boxed{\frac{\text {v}_{\text{s}}}{\text {v}_{\text{Lua}}} = 2} } [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\text {v}_{\text{s}}}{\text {v}_{\text{Lua}}} = \sqrt\frac{{\frac{4 \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}\text{G} \cdot \text{M}}}}}{{\color{red}\cancel{{\color{black}\text{R}_{\text{Lua}}}}}}}}{{\frac{{\color{red}\cancel{{\color{black}\text{G} \cdot \text{M}}}}}{{\color{red}\cancel{{\color{black}\text{R}_{\text{Lua}}}}}}}} = \sqrt \frac{4}{1} \, \, \implies \, \,{\color {forestgreen} \boxed{\frac{\text {v}_{\text{s}}}{\text {v}_{\text{Lua}}} = 2} } [/tex3]