E aí, Ismael
Vou mostrar um resultado interessante para essa questão.
Duas alturas sucessivas [tex3]\text{H}_{\text{2}}[/tex3]
e [tex3]\text{H}_{\text{1}}[/tex3]
se relacionam da seguinte forma:
[tex3]\text{H}_{2} = \text{e}^2 \cdot \text{H}_{1}[/tex3]
Em que [tex3]\text{e}[/tex3]
é o coeficiente de restituição.
Seja [tex3]\text{v}_{1}[/tex3]
a velocidade de uma esfera que cai verticalmente do repouso de uma altura [tex3]\text{H}_{1}[/tex3]
imediatamente antes do impacto com o solo. Por conservação de energia, podemos escrever:
[tex3]\text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} = \frac{ \text{m} \cdot \text{v}_{1}}{ 2 } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{\text{v}_{1} = \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} }}[/tex3]
Em seguida, após o impacto com o solo, a esfera irá realizar um movimento de subida até atingir uma altura máxima [tex3]\text{H}_{2}.[/tex3]
Novamente por conservação de energia, temos que a velocidade [tex3]\text{v}_{2}[/tex3]
imediatamente após o impacto em função da altura [tex3]\text{H}_{2}[/tex3]
atingida é dada por:
[tex3]\text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} = \frac{ \text{m} \cdot \text{v}_{2}}{ 2 } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{\text{v}_{2} = \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} }}[/tex3]
Mas sabemos que o coeficiente de restituição é dado por:
[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| }[/tex3]
Então,
[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{2}}| }{ |\text{v}_{\text{1}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e} = \frac{ \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} } }{ \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} } } \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{e} = \sqrt{ \frac{ \text{H}_{2} }{ \text{H}_{1} } }}[/tex3]
Portanto, duas alturas sucessivas estão relacionadas da seguinte maneira:
[tex3]\text{H}_{2} = \text{e}^2 \cdot \text{H}_{1}[/tex3]
Logo, sucessivas alturas [tex3]\text{H}_{1}, \, \text{H}_{2}, \, \text{H}_{3}, \, ... \, \text{H}_{\text{n}}[/tex3]
estão relacionadas por meio de uma
progressão geométrica de razão [tex3]\text{e}^2.[/tex3]
Partindo para a sua questão, chamemos de [tex3]\text{x}[/tex3]
a altura atingida após o primeiro choque.
Daí,
[tex3]\begin{cases}\text{x} = 8 \cdot \text{e}^2 \quad {\color{red}\text{(I)}} \\\\\
2 = \text{x} \cdot \text{e}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{x} = \frac{ 2}{ \text{e}^2}\quad {\color{red}\text{(II)}}
\end{cases}[/tex3]
Igualando as duas equações, vem:
[tex3]8 \cdot \text{e}^2 = \frac{ 2}{ \text{e}^2} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e}^4 = \frac{1}{4} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{ \text{e} = \frac{\sqrt{2} }{2}} [/tex3]