Física I ⇒ Colisão - Unidimensional com Um Plano Horizontal - Coeficiente de Restituição Tópico resolvido

[ismaelmat]

74.333 - Abandona-se, a partir do repouso, uma bola de tênis de uma altura de 8,0m. Após dois choques sucessivos com o solo, ela alcançou a altura de 2,0m. Determine o coeficiente de restituição dos choques.

Gabarito :

Resposta

---

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

/2

[MateusQqMD]

E aí, Ismael

Vou mostrar um resultado interessante para essa questão.

Duas alturas sucessivas [tex3]\text{H}_{\text{2}}[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{\text{2}}[/tex3]

e [tex3]\text{H}_{\text{1}}[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{\text{1}}[/tex3]

se relacionam da seguinte forma:

[tex3]\text{H}_{2} = \text{e}^2 \cdot \text{H}_{1}[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{2} = \text{e}^2 \cdot \text{H}_{1}[/tex3]

Em que [tex3]\text{e}[/tex3]

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[tex3]\text{e}[/tex3]

é o coeficiente de restituição.

Seja [tex3]\text{v}_{1}[/tex3]

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[tex3]\text{v}_{1}[/tex3]

a velocidade de uma esfera que cai verticalmente do repouso de uma altura [tex3]\text{H}_{1}[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{1}[/tex3]

imediatamente antes do impacto com o solo. Por conservação de energia, podemos escrever:

[tex3]\text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} = \frac{ \text{m} \cdot \text{v}_{1}}{ 2 } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{\text{v}_{1} = \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} }}[/tex3]

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[tex3]\text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} = \frac{ \text{m} \cdot \text{v}_{1}}{ 2 } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{\text{v}_{1} = \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} }}[/tex3]

Em seguida, após o impacto com o solo, a esfera irá realizar um movimento de subida até atingir uma altura máxima [tex3]\text{H}_{2}.[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{2}.[/tex3]

Novamente por conservação de energia, temos que a velocidade [tex3]\text{v}_{2}[/tex3]

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[tex3]\text{v}_{2}[/tex3]

imediatamente após o impacto em função da altura [tex3]\text{H}_{2}[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{2}[/tex3]

atingida é dada por:

[tex3]\text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} = \frac{ \text{m} \cdot \text{v}_{2}}{ 2 } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{\text{v}_{2} = \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} }}[/tex3]

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[tex3]\text{m} \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} = \frac{ \text{m} \cdot \text{v}_{2}}{ 2 } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{\text{v}_{2} = \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} }}[/tex3]

Mas sabemos que o coeficiente de restituição é dado por:

[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| }[/tex3]

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[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| }[/tex3]

Então,

[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{2}}| }{ |\text{v}_{\text{1}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e} = \frac{ \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} } }{ \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} } } \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{e} = \sqrt{ \frac{ \text{H}_{2} }{ \text{H}_{1} } }}[/tex3]

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[tex3]\text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{f}}| }{ |\text{v}_{\text{i}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e} = \frac{|\text{v}_{\text{2}}| }{ |\text{v}_{\text{1}}| } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e} = \frac{ \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{2} } }{ \sqrt{2 \cdot \text{g} \cdot \text{H}_{1} } } \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{e} = \sqrt{ \frac{ \text{H}_{2} }{ \text{H}_{1} } }}[/tex3]

Portanto, duas alturas sucessivas estão relacionadas da seguinte maneira:

[tex3]\text{H}_{2} = \text{e}^2 \cdot \text{H}_{1}[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{2} = \text{e}^2 \cdot \text{H}_{1}[/tex3]

Logo, sucessivas alturas [tex3]\text{H}_{1}, \, \text{H}_{2}, \, \text{H}_{3}, \, ... \, \text{H}_{\text{n}}[/tex3]

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[tex3]\text{H}_{1}, \, \text{H}_{2}, \, \text{H}_{3}, \, ... \, \text{H}_{\text{n}}[/tex3]

estão relacionadas por meio de uma progressão geométrica de razão [tex3]\text{e}^2.[/tex3]

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[tex3]\text{e}^2.[/tex3]

Partindo para a sua questão, chamemos de [tex3]\text{x}[/tex3]

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[tex3]\text{x}[/tex3]

a altura atingida após o primeiro choque.

Daí,

[tex3]\begin{cases}\text{x} = 8 \cdot \text{e}^2 \quad {\color{red}\text{(I)}} \\\\\
2 = \text{x} \cdot \text{e}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{x} = \frac{ 2}{ \text{e}^2}\quad {\color{red}\text{(II)}}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\text{x} = 8 \cdot \text{e}^2 \quad {\color{red}\text{(I)}} \\\\\
2 = \text{x} \cdot \text{e}^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{x} = \frac{ 2}{ \text{e}^2}\quad {\color{red}\text{(II)}}
\end{cases}[/tex3]

Igualando as duas equações, vem:

[tex3]8 \cdot \text{e}^2 = \frac{ 2}{ \text{e}^2} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e}^4 = \frac{1}{4} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{ \text{e} = \frac{\sqrt{2} }{2}} [/tex3]

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[tex3]8 \cdot \text{e}^2 = \frac{ 2}{ \text{e}^2} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{e}^4 = \frac{1}{4} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{ \text{e} = \frac{\sqrt{2} }{2}} [/tex3]

[MateusQqMD]

Perceba que a ideia será a mesma para o seu outro tópico:

viewtopic.php?f=9&t=73471

[Planck]

Essa explicação do MateusQqMD poderia ir para área de Demonstrações na Física, ficou excelente!