Olá
andrezza,
Para o primeiro item:
andrezza escreveu: ↑Sáb 18 Mai, 2019 16:14
As informações apresentadas são suficientes para se concluir corretamente que, na perseguição de B, o animal A percorre a trajetória descrita com módulo da velocidade constante.
Podemos definir a posição de [tex3]A[/tex3]
por:
[tex3]A = \left ( x_B, \; \frac{242}{1+x_B}-2 \right)[/tex3]
Sendo:
[tex3]x_B = v_B \cdot t \Rightarrow x_B = 10 \cdot t[/tex3]
Com isso:
[tex3]A = \left ( 10 \cdot t, \; \frac{242}{1+10 \cdot t}-2 \right)[/tex3]
Portanto, a posição [tex3](x_A, \;y_A)[/tex3]
de [tex3]A[/tex3]
será:
[tex3]x_A = x_B \Leftrightarrow x_A = 10\cdot t[/tex3]
[tex3]y_A = \frac{242}{1+10 \cdot t}-2[/tex3]
A componente em [tex3]x[/tex3]
descreve um movimento uniforme. Por outro lado, a componente em [tex3]y[/tex3]
provavelmente descreve um movimento uniformemente variado. Desse modo, a velocidade será dada, vetorialmente, por:
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{v = \sqrt {(10 \cdot t)^2 + v_{A_y}^2}}}[/tex3]
Com isso, notamos que falta uma informação importante: [tex3]v_{A_y}[/tex3]
.
Para o segundo item:
andrezza escreveu: ↑Sáb 18 Mai, 2019 16:14
O animal A alcançará B em 10 s.
Primeiramente, para [tex3]A[/tex3]
alcançar [tex3]B[/tex3]
, faz-se necessário que [tex3]y_A = 0[/tex3]
. Desse modo:
[tex3]\frac{242}{1+10 \cdot t}-2=0[/tex3]
[tex3]\frac{242}{1+10 \cdot t}=2[/tex3]
[tex3]121=1 + 10 \cdot t[/tex3]
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{t=12 \, [s]}}[/tex3]
Para o terceiro item:
andrezza escreveu: ↑Sáb 18 Mai, 2019 16:14
Suponha que, em t = 0, um animal C, predador de A, posicionado no ponto de coordenadas (0, 0), parta, com velocidade constante v
C, em direção a um ponto em que possa capturar A, antes que este capture B. Suponha, ainda, que a trajetória de C seja retilínea e faça um ângulo [tex3]\theta [/tex3]
com o eixo Ox, tal que tg [tex3]\theta [/tex3]
= 2. Nessa situação, para que C capture A antes que A capture B, será necessário que v
C seja igual ou superior a 10 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
m/s.
Pelas informações, para o ponto de captura, podemos definir que:
[tex3]\tg \theta = \frac{y_A}{x_A}[/tex3]
Com as devidas substituições:
[tex3]\tg \theta = \frac{\frac{242}{1+x_B}-2}{x_B}[/tex3]
Iguala-se a [tex3]2[/tex3]
:
[tex3]\frac{\frac{242}{1+x_B}-2}{x_B}=2[/tex3]
[tex3]\frac{242}{1+x_B}-2=2 \cdot x_B[/tex3]
[tex3]\frac{242}{1+x_B}-2=2 \cdot x_B[/tex3]
Disso obtemos a seguinte equação quadrática:
[tex3]x_B^2 +2 \cdot x_B^2 -120 = 0[/tex3]
Por soma e produto, obtemos:
[tex3]x_B' = -12 \; [m][/tex3]
[tex3]x_B'' = 10 \; [m][/tex3]
Como foi mencionado que:
andrezza escreveu: ↑Sáb 18 Mai, 2019 16:14
Nesse instante, B detecta a presença de A e foge sobre o eixo Ox, no sentido
positivo
Ficamos apenas com a segunda raiz. Podemos obter [tex3]y_A[/tex3]
fazendo o seguinte:
[tex3]\tg \theta = \frac{y_A}{x_A} \Leftrightarrow \frac{y_A}{x_A} = 2[/tex3]
Lembre-se que [tex3]x_A = x_B[/tex3]
. Logo:
[tex3]\frac{y_A}{10} = 2 \Rightarrow y_A = 20 \; [m][/tex3]
Observe na imagem a trajetória do animal [tex3]C[/tex3]
:
- geogebra-export (67).png (64.32 KiB) Exibido 654 vezes
Podemos calcular a distância [tex3]CP[/tex3]
pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]\overline{CP} = \sqrt{10^2 + 20^2}[/tex3]
[tex3]\overline{CP} = 10 \sqrt 5 \; [m][/tex3]
A velocidade [tex3]v_C[/tex3]
será dada por:
[tex3]v_C = \frac{\overline{CP}}{\Delta t}[/tex3]
Mas:
[tex3]t = \frac{x_B}{10} \Rightarrow t =1\;[s][/tex3]
Lembre-se da raiz da equação quadrática que obtemos. Após esse fato, conseguimos obter o valor de [tex3]v_C[/tex3]
:
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{v_C=10\sqrt5 \; [m/s]}}[/tex3]
